86306 (Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа), страница 8

Диагностирующий этап эксперимента

В качестве испытуемых 19 учеников 10 «Г» класса средней школы №2 г. Каргополя. Среди учеников были хорошо успевающие, но преимущественно отстающие ученики.

Целью этапа является выявление уровня сформированности основных умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Для реализации цели, поставленной на данном этапе, были сформулированы следующие задачи:

1. Выявить умение учащихся определять положение точки на единичной окружности, соответствующей данному углу;

2. Установить умение учащихся отмечать угол соответствующий конкретному значению конкретной тригонометрической функции;

3. Проверить умения определять принадлежность угла соответствующей четверти и оперировать с формулами приведения;

4. Вычислять значения тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций некоторых углов (как положительных, так и отрицательных);

Для реализации данных задач были использованы методы:

- контрольная работа;

- наблюдение.

Учащимся была предложена контрольная работа, состоящая из 7 заданий. Задания контрольной работы были выбраны в соответствии с умениями, необходимыми для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Текст самостоятельной работы

1. Отметьте на единичной окружности точку , если

.

2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка , если

равно:

1. Отметьте на тригонометрической окружности точки , если:

4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.

а) б) в) г) д)

5. Дана дуга МР. М – середина I – ой четверти, Р – середина II-ой четверти.

Ограничить значение переменной t для: (составить двойное неравенство)

а) дуги МР;

б) дуги РМ.

6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:

7. Решите неравенства sinx > 1, sinx <-1 , cos x > 1, cosx <-1

8. Преобразовать выражение cos5xcos4x-sin5xsin4x

Результаты диагностирующего эксперимента.

Результаты контрольной работы отражены в таблице в количественном и процентном отношении.

Решили здание на обозначение точки на окружности	73,6%
Решили задания на принадлежность угла соответствующей четверти	42,1%
Отметили угол по значению функции	42,1%
Преобразование функции к углу I четверти	26,3%
Составили двойные неравенства для дуг окружности	42,1%
Составили тригонометрические неравенства для дуг графика функции	68,4%
Решили неравенства с помощью свойств функции	36,8%
Преобразовали выражение	73,62%

1 задание: (задание на обозначение точки).

Справилось 14 человек.

Ошибки: Неверное деление на доли тригонометрической окружности. Неверное определение четверти.

2 задание: (задание на принадлежность угла к координатной четверти).

Справилось 8 человек.

Ошибки: Неумение определять положение отрицательного угла. Неверное представление десятичной дроби к виду обыкновенной.

3 задание: (определение угла по значению конкретной функции). Справилось 8 человек.

Ошибки: Определение не пар точек у функций синус и косинус, а только одной. Для функции y = tgx учащиеся отмечают точку не на окружности, а на прямой, изображающей линию тангенса

4 задание: (задание на преобразование угла к острому).

Справилось 5 человек.

Ни один из учеников не ответил правильно на все формулы. Вероятно, что у учеников нет чёткого понимания принадлежности угла к интервалу

5 задание: (составление двойных неравенств для дуг тригонометрической окружности)

Справилось 8 человек.

Ошибки: сложность вызывает определение дуги, расположенной ниже мнимой прямой МР, а именно обозначение той точки дуги, которая обозначается отрицательным значение .

6 задание: (составление двойных неравенств для дуг графика тригонометрической функции).

Справилось 13 человек.

Ошибки: Учащиеся затрудняются в определении направления той дуги, которая расположена в левой части графика, т.е. граничные значения которых имеют отрицательное значение. «Они ведут по дуге от центра»

7 задание: (решение тригонометрических неравенств с помощью свойств тригонометрических функций).

Справилось 7 человек.

Ошибки: Сложно выделить трудности, т.к. учащиеся, не справившиеся с заданием, не приступали к его выполнению.

8 задание: (преобразование выражения)

Справилось 14 человек.

Ошибки: Используется аналогия с формулой синуса разности.

В результате наблюдения работы учащихся у доски, а так же в ходе устной работы было замечено, что учащиеся более верно выполняют задания под руководством учителя.

Таким образом, анализ результатов самостоятельной работы и наблюдений показал что:

1. Учащиеся не уделяют должного внимания определению области применимости некоторых формул и правил;

2. Определяют точку на единичной окружности –73,6% учащихся;

Определяют принадлежность угла соответствующей четверти – 42,1% учащихся;

Отмечают угол по значению функции - 42,1 % учащихся;

Выполняют задание на преобразование угла к острому – 26,3% учащихся;

Составили двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности– 42,1% учащихся;

Составили двойные неравенства для дуг графика тригонометрической функции– 68,4% учащихся;

Решили тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций–36,8% учащихся;

Упрощают выражение – 73,6 % учащихся.

Это говорит о том, что при обучении учащихся решать тригонометрические уравнения и неравенства необходимо акцентировать внимание учащихся на работу с тригонометрической окружностью.

Обучающий эксперимент

Целью данного этапа является формирование у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Для реализации поставленной цели сформулированы следующие задачи:

1. В соответствии с результатами предыдущего этапа внести коррективы в разработанную методику формирования у учащихся решать тригонометрические неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений;

2. Применять данную систему задания на уроках и дополнительных занятиях со слабыми учащимися.

3. Организовать деятельность учащихся на занятиях, направленную на формирование умений решать тригонометрические неравенства.

Для реализации данных задач были проведены уроки и дополнительные занятия. Содержание этих занятий включало в себя теоретическую и практическую часть.

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства

Решим тригонометрическое неравенство .

Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси абсцисс точку . Проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, косинус которых равен

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие косинус больший, чем . Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .

Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги .

Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство . Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции косинус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде .

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства

Решим тригонометрическое неравенство .

Шаг 1. Начертим единичную полуокружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.

Шаг 2. Выделим дугу, для точек которой тангенс больше или равен -1. Один из концов этой дуги уже обозначен числом .

Шаг 3. Второй конец дуги в случае решения неравенств с тангенсом всегда можно обозначить как арктангенс соответствующего числа. В данном случае это арктангенс -1, то есть . Теперь, учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом , получаем решения неравенства:

Внимательно рассмотрите рисунок и разберитесь, почему все решения неравенства могут быть записаны в виде

Решим тригонометрическое неравенство

Неравенства такого вида , в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, , а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство , решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства

Решим тригонометрическое неравенство .

Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен .

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем . Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги, например, справа. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .

Шаг4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому против часовой стрелки, учитывая, что числа, которые мы будем проходить, увеличиваются. Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги

.

Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство .

Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде .

Фрагмент урока направленный на развитие умения решать тригонометрические уравнения

Решим тригонометрическое уравнение tg x = -1

Шаг 1. Начертим единичную окружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.

Шаг 2. Точки пересечения проведенной прямой с окружностью это и есть решения данного уравнения, в данном случае это арктангенс -1, то есть и .

Шаг 3. Учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом , получаем решения уравнения

Диагностирующий эксперимент

Целью данного этапа является определение эффективности разработанной методики.

Для реализации данной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Провести контролирующую самостоятельную работу, позволяющую определить уровень сформированности у учащихся умений решать тригонометрические неравенства.

2. Сделать соответствующие выводы об использовании данной методики, её корректировке или полном изменении.

Для решения данных задач была проведена контрольная работа, аналогичная работе, предложенной на подготовительном этапе.

Текст контрольной работы.

1. Отметить на единичной окружности точки P_t, для которых соответствующие значения t удовлетворяют равенству

Справилось –15 человек (78,9 %);.

1. Определить принадлежность угла соответствующей четверти, если α равно .

Справилось – 10 человек (52,6%);

1. Отметить угол α по значению функции

Справилось – 10 человек (52,6%);

1. Выполнить задание на преобразование угла к острому

а) б)

Справилось – 5 человек (26,3%);

1. Составить двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности.

R – середина III четверти, К – середина IV четверти. Составить двойное неравенство для дуг КR и RК.

Справилось – 12 человек (63,2%);

1. Составить двойные неравенства для дуг графика тригонометрической функции

Справилось – 13 человек (68,4%);

1. Решить тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций cosx<1, sinx>0

Справилось – 10 человек (52,6%);

1. Упростить выражение cos5xcos4x+sin5xsin4x

Справилось – 15 человек (78,9%);

1. Решить неравенство

Справилось – 12 человек (63,2 %).

1. Ученики более внимательно работают с тригонометрической окружностью, более точно обозначают точки на окружности, определяют направление нужной дуги и приступают к решению неравенств после рассмотрения условий применимости свойств функции, необходимых для решения.

2. Сравнение результатов тестирования до и после эксперимента позволяет представить их в графической форме.

Работа с учащимися по формированию осознанного и качественного научения решать тригонометрические неравенства прошла успешно. Об этом свидетельствуют:

• Улучшение результатов проверочных работ

• Отношение самих учащихся к проведённым занятиям.

Школьники с интересом принимали участие в процессе обучения.

Таким образом, цель эксперимента достигнута. Его результаты удовлетворительны. Данная методика имеет возможность применения на занятиях по алгебре и началам анализа в общеобразовательной школе.

Заключение

Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрических уравнения и неравенства в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.

Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства. С учётом того, что тригонометрические уравнения и неравенства разделяются на несколько типов, то соответственно и методика для каждого типа различна.

Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и методов предложенными авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается линия возможностей изучения различных видов уравнений и неравенств на разных уровнях.

С решением уравнений, в которых переменная входит под знак одной или нескольких тригонометрических функций, так или иначе связаны многие задачи тригонометрии, стереометрии, физики и др. Процесс решения таких задач как бы синтезирует в себе практически все знания и умения, которые учащиеся приобретают при изучении элементов тригонометрии. Поэтому учитель сталкивается с довольно сложной проблемой выделения тех идей изучаемого материала, которые лежат в основе способов решения рассматриваемых задач, с целью их последующего обобщения и систематизации. Это важно и для осознанного усвоения учащимися теории, и для овладения некоторыми достаточно общими способами решения математических задач. Следует также заметить, что решение тригонометрических уравнений не только создает предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных с материалом тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приемы преобразования тригонометрических выражений и т.д.), но и дает возможность установить действенные связи с изученным алгебраическим материалом (уравнение, равносильность уравнений, виды алгебраических уравнений, способы их решения, приемы преобразования алгебраических выражений и т.п.). В этом состоит одна из особенностей материала, связанная с изучением тригонометрических уравнений.

Другая особенность – в исключительном разнообразии таких уравнений. Именно это разнообразие влечет определенные трудности в их классификации; его следствием могут быть и затруднения в решении тригонометрических уравнений, в частности, - в выборе того приема, который целесообразно применить для получения искомого множества значений переменной.

Указанные особенности должны быть учтены учителем при разработке методики обучения школьников решению тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом.

Литература

1. Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2001г.

2. Адрова И.А., Ромашко И.В. Модульный урок в X классе по теме «Решение тригонометрических уравнений» //Математика в школе. 2001. №4. С. 28-32.

3. БашмаковМ.И. Алгебра и начала анализа. 10-11. Учебное пособие для 10 – 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 1998. – 335 с.: ил.

4. Водинчар М.И. и др. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств //Математика в школе. 1999. № 4. С. 73-77.

5. Гилемханов Р.Г. Освободимся от лишней работы (при решении однородных триг.уравнений) //Математика в школе. 2000. № 10. С.9

6. Зайкин М.И. Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении (сборник научных и методических работ, предоставленных на региональную научно-практичечскую конференцию).М.: Арзамас, 2002. - 334с.

7. Зандер В.К. О блочном изучении математики / на примере изучения темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» //Математика в школе.1991. № 4, С.38-42.

8. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения //Математика в школе. 1995. № 2. С.23-33

9. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ) //Математика в школе. № 3, С.18-27.

10. Золотухин Е.П. Замечания о решении уравнений вида asinx+bcosx=c //Математика в школе. 1991. № 3. С.84.

11. Калинин А.К. О решении тригонометрических неравенств. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 6, 1991г.

12. Кириченко Т.Ф. и др. Методические рекомендации для студентов-заочников по решению математических задач. Ленинград, 1987 – 53 с.

13. Клещев В.А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности //Математика в школе. 1992. № 6. С. 17-18.

14. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 – 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 1998. – 335 с.: ил.

15. Кордемский Б.А. Как увлечь математикой. М.:Просвещение, 1981. -112с.ил.

16. Е.И. Лященко и др. Методические рекомендации по формированию ведущих понятий курса математики. Ленинград, 1988. – 72 с.

17. Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.// Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 17, 2006г.

18. Мордкович А.Г. Беседы с учителем. М.: ООО “Издательский дом “ОНИКС 21 век”:ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005”

19. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2000. – 336с.:ил.

20. Мордкович А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2002. №6.

21. Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн–4-е изд. М.: Гумакнит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.1:Общие основы психологии.-688с.

22. Немов Р.С. Психология: Учеб.для студ.высш.пед.учеб.заведений: В 3 кн. – 4е изд. М.:Гумакнит.изд.центр ВЛАДОС, 2003.-Кн.2: Общие основы психологии.-608с.

23. Орлова Т. Решение однородных тригонометрических уравнений: Конкурс “Я иду на урок” //Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 48, 1999г.

24. Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: М. Просвещение, 1985г.

25. Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: М. Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1.

26. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений //Математика в школе. 2004. № 1. С. 24-26.

27. Суворова М.В. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики (на примере изучения темы «Тригонометрические уравнения» //Математика в школе. 1995. № 4. С.12-13

28. Токарева А. Тригонометрические неравенства. // Математика. // Приложение к газете «Первое сентября» № 44, 2002 г.

29. Шабунин М. Тригонометрические уравнения. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 12,13, 1995г.

30. Филатов В.Г. О потере корней при решении тригонометрических уравнений //Математика в школе. 1991. №2. С.57-59.

31. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях //Математика в школе. 2004. №1. С.20-24.

32. Якимовская И.С. Знания и мышление школьников. М.: Просвещение, 1976.