86306 (Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа), страница 7
Описание файла
Документ из архива "Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86306"
Текст 7 страницы из документа "86306"
Обратим внимание на задания 5 и 6. Естественно, именно оно лежит в основе решения простейшего тригонометрического неравенства.
Неравенства, характеризующие дугу, мы предлагаем составлять в 2 шага. На первом шаге составляем «ядро» записи неравенства (это, собственно говоря, главное к чему следует научить школьников); для заданной дуги МР получим . На втором шаге составляем общую запись:
, .
Если же речь идёт о дуге РМ, то при записи «ядра» нужно учесть, что точка А(0) лежит внутри дуги, а потому к началу дуги нам приходиться двигаться по первой отрицательной окружности. Значит, ядро аналитической записи дуги РМ имеет вид , а общая запись имеет вид. ,
При решении задания 7, следует особо обратить внимание на значимость свойств тригонометрических функций.
На втором этапе обучения решению тригонометрических неравенств можно предложить следующие рекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся. При этом будем ориентироваться на уже имеющиеся у учащихся умения работать с тригонометрической окружностью или графиком, сформированные во время решения простейших тригонометрических уравнений.
Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема решения простейших тригонометрических неравенств можно, обратившись, например, к неравенству вида . Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенное неравенство к виду; , но могут затрудниться в нахождении множества решений полученного неравенства, т.к. только лишь используя свойства функции синус решить его невозможно. Этого затруднения можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга).
Во-вторых, учитель должен обратить внимание учащихся на различные способы выполнения задания, дать соответствующий образец решения неравенства и графическим способом и с помощью тригонометрического круга.
Предлагаем такие варианты решения неравенства
1. Решение неравенства с помощью круга.
Решим тригонометрическое неравенство .
На первом занятии по решению тригонометрических неравенств предложим учащимся подробный алгоритм решения, который в пошаговом представлении отражает все основные умения, необходимые для решения неравенства.
Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен .
Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем . Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.
Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .
Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, "пройдем" по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги
.
Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство . Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде
Внимательно рассмотрите рисунок и разберитесь, почему все решения неравенства могут быть записаны в виде
Обратить внимание учащихся на то, что при решении неравенств для функции косинус, прямую проводим параллельно оси ординат.
-
Графический способ решения неравенства.
Строим графики и , учитывая, что
Затем записываем уравнение и его решение , найденное с помощью формул .
(Придавая n значения 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения). Значения являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и . Очевидно, что всегда на интервале ( ) выполняется неравенство , а на интервале ( ) – неравенство . Нас интересует первый случай, и тогда добавив к концам этого промежутка число, кратное периоду синуса, получим решение неравенства в виде: ;
Подведём итог. Чтобы решить неравенство , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: .
В-третьих, факт о множестве корней соответствующего тригонометрического неравенства очень наглядно подтверждается при решении его графическим способом.
Необходимо продемонстрировать учащимся, что виток, который является решением неравенства, повторяется через один и тот же промежуток, равный периоду тригонометрической функции. Так же можно рассмотреть аналогичную иллюстрацию для графика функции синус.
В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание школьников на роль этих приемов при решении тригонометрических неравенств.
Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:
В-пятых, от учащихся необходимо требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического неравенства с помощью графика или тригонометрического круга. Обязательно следует обратить внимание на ее целесообразность, в особенности на применение круга, так как при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства
В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства сделаем лишь два замечания.
Во-первых, знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических неравенств, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому неравенству обращение к соответствующему тригонометрическому уравнению совместный поиск (учитель – учащиеся) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие неравенства этого же вида.
Во-вторых, чтобы систематизировать знания учащихся о тригонометрии, рекомендуем специально подобрать такие неравенства решение которых требует различных преобразований, которые могут быть реализованы в процессе его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях.
В качестве таких продуктивных неравенств можно предложить, например, следующие
В заключение приведем примеры тригонометрических неравенств, которые рекомендуем предложить учащимся для самостоятельного решения:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ;
7) ; 8) ; 9) ;
10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) .
Итак, в теме «Тригонометрические неравенства» мы предлагаем изучать только то, что даст возможность школьникам почувствовать именно специфику тригонометрических неравенств.
Педагогический эксперимент
Предметом исследования является система тригонометрических уравнений и неравенств, направленная на развитие умений решать тригонометрические уравнения и неравенства
Объект исследования – процесс обучения математике.
Гипотеза эксперимента: если в процессе изучения тригонометрического материала использовать разработанную методику, то это будет способствовать осознанному и качественному формированию умений решать тригонометрические неравенства.
Цель: заключается в выявлении и обосновании возможности использования данной методики для формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.
В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
-
Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств при обучении математике;
-
Разработать методику формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений;
-
Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
- анализ психолого-педагогической и методической литературы;
- теоретический метод;
- практический метод.
Ход эксперимента можно разбить на три этапа:
-
Диагностирующий;
-
Обучающий;
-
Диагностирующий
База исследования: Средняя общеобразовательная школа №2 г. Каргополя.