86306 (Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа), страница 6
Описание файла
Документ из архива "Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86306"
Текст 6 страницы из документа "86306"
и ), (
), которые дадут возможность сразу фиксировать искомые множества.
Во-вторых, следует обратить внимание учащихся, что получение общих формул для записи множеств решений уравнений указанного вида предполагает введение понятий арксинуса, их арккосинуса числа и т.д. Ввести эти понятия должен учитель, демонстрируя школьникам применение теоремы о корне к каждой из тригонометрических функций на определенном множестве. При этом целесообразно обратиться к графическому способу решения задачи о нахождении множества решений уравнения вида , , на промежутках
, и соответственно (решить такую задачу учащиеся могут самостоятельно).
В-третьих, следует провести работу по формированию у учащихся умений находить значения выражений вида , , при данных значениях . С этой целью полезно предложить учащимся задания типа
1) Вычислить: ;
2) Найти значение выражения: и т.п.
Учитель должен обратить внимание учащихся на способ выполнения каждого из заданий, дать соответствующий образец. В первом случае способ задается следующим предписанием: нужно найти такое действительное число , которое удовлетворяет двум условиям (укажем эти условия, имея в виду пример : это число принадлежит промежутку ; синус искомого числа равен , то есть и . Способ выполнения второго задания основан на применении понятий «арксинус числа», «арккосинус числа» и т.д. и, возможно, тригонометрических тождеств. Особое внимание следует обратить на выполнение последнего примера этого задания.
В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание школьников на роль этих приемов при решении тригонометрических уравнений. Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:
1)Разложить на множители: .
2)Решить уравнение: . Выполнение учащимися приведенных заданий следует заключить выводом о том приеме, который лежит в основе решения данных уравнений: привести уравнение к виду , разложить левую часть на множители, воспользоваться условием равенства нулю произведения и заменить уравнение равносильной совокупностью уравнений, каждое из уравнений совокупности решить, используя факт о множестве корней соответствующей тригонометрической функции.
В-пятых, начать работу по введению способа решения простейших тригонометрических уравнений следует с постановки вопроса: при каких значениях параметра уравнение вида ( , ,
) имеет (не имеет) действительного решения и почему. Выделение множества решений параметра, при которых указанное уравнение разрешимо в , дает основание для поиска способа его решения. Заметим, что в практике обучения школьникам достаточно разъяснить суть такого способа для одного из уравнений, например, ,
. При этом нужно лишь обратить внимание учащихся на то, что если мы заменим число значением функции синус некоторого аргумента, то данное уравнение сводится к уравнению, способ решения которого уже известен. Поэтому, по сути, большая часть работы, связанной с получением формулы решений рассматриваемого уравнения, может быть выполнена учащимися самостоятельно. Учитель выступает в роли консультанта и помогает школьникам сделать обобщения. Получение формул, задающих множества решений уравнений , целесообразно представить учащимся для самостоятельной работы.
В-шестых, от учащихся не рекомендуется требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического уравнения с помощью графика или тригонометрического круга. Но обратить внимание на ее целесообразность следует (в особенности на применение круга), так как в последующем при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства.
Последующее формирование у учащихся умений решать простейшие тригонометрические уравнения осуществляется в основном в процессе самостоятельного решения школьниками уравнений, среди которых – уравнения, приводящиеся к простейшим или их совокупностям после выполнения преобразований тригонометрических выражений. В список предлагаемых учащимся уравнений рекомендуем включить такие, которые сводятся к виду
и т.п.
Аналогичные задания могут служить средством контроля за сформированностью у учащихся умений решать простейшие тригонометрические уравнения.
В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения сделаем лишь два замечания.
Во-первых, знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических уравнений, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому уравнению = типичному представителю определенного вида совместный поиск (учитель – учащиеся) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие уравнения этого же вида обобщение-вывод о характеристиках уравнений рассматриваемого вида и общем приеме решения этих уравнений.
Во-вторых, чтобы, с одной стороны, систематизировать знания учащихся о приемах решения тригонометрических уравнений, а с другой, продемонстрировать достаточную «условность» отнесения ряда уравнений к определенному виду, рекомендуем специально показать школьникам возможность применения различных приемов решения к одному и тому же уравнению. Для этого целесообразно обратиться к «хорошему уравнению, установить все те приемы, которые могут быть реализованы в процессе его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях, выделить прием, который в рассматриваемой ситуации оказывается наиболее рациональным.
В качестве такого «хорошего» уравнения можно предложить, например, следующее .
Это уравнение может быть приведено
1) к виду однородного относительно и
2) к квадратному относительно с помощью универсальной подстановки
;
3) к простейшему тригонометрическому вида
после применения приема введения вспомогательной переменной.
Сравнение приемов решения уравнения в каждом из указанных случаев свидетельствует, что наиболее рациональным является приведение данного уравнения к простейшему тригонометрическому, так как процесс решения состоит из наименьшего числа операций, выполнение каждой из этих операций не может нарушить равносильность исходного и полученного уравнений, запись ответа более компактна.
В заключение приведем примеры тригонометрических уравнений, которые рекомендуем предложить учащимся для самостоятельного решения:
1 группу составляют тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на определениях и некоторых свойствах тригонометрических функций.
а) ; б) ; в) ; г)
2 группу составляют простейшие тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на определениях тригонометрических функций и понятиях арксинуса, арккосинуса и арктангенса числа.
а) ; б) ; в) ;
г) ;
3 группа задач объединяет тригонометрические уравнения, решение которых потребует выполнения тождественных преобразований тригонометрических и алгебраических выражений для приведения данного уравнения к одному из известных видов.
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
2.3 Методика формирования умений решать тригонометрические неравенства
В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства, также можно выделить 3 этапа.
1. подготовительный,
2. формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;
3. введение тригонометрических неравенств других видов.
Цель подготовительного этапа состоит в том, что необходимо сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг или график для решения неравенств, а именно:
- умения решать простейшие неравенства вида sinx > 1, sinx <-1 , cos x > 1, cosx < -1 с помощью свойств функций синус и косинус;
- умения составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности или для дуг графиков функций;
- умения выполнять различные преобразования тригонометрических выражений.
Реализовать этот этап рекомендуется в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций. Основным средством могут служить задания, предлагаемые учащимся и выполняемые либо под руководством учителя, либо самостоятельно, а так же навыки наработанные при решении тригонометрических уравнений.
Приведем примеры таких заданий:
1. Отметьте на единичной окружности точку , если
.
2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка , если
равно:
3. Отметьте на тригонометрической окружности точки , если:
4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.
а) б) в)
5. Дана дуга МР. М – середина I – ой четверти, Р – середина II-ой четверти.
Ограничить значение переменной t для: (составить двойное неравенство)
а) дуги МР;
б) дуги РМ.
6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:
7. Решите неравенства sinx > 1, sinx <-1 , cos x > 1, cosx <-1
8. Преобразовать выражение sin5xcos4x-cos5xsin4x