86306 (Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа), страница 4

Найдём значения и .

При n = 1

При n = 2

Записываем окончательный ответ данного неравенства:

или

.

В рассмотренном примере решения простейших тригонометрических неравенств недостаток может быть только один – наличие определенной доли формализма. Но если всё оценивать только с этих позиций, то тогда можно будет обвинить в формализме и формулы корней квадратного уравнения, и всех формул решения тригонометрических уравнений, и многое другое.[11]

Предложенный метод хоть и занимает достойное место в формировании умений и навыков решения тригонометрических неравенств, но нельзя и преуменьшать важность и особенности других методов решения тригонометрических неравенств. К таковым относится и метод интервалов.

Рассмотрим его сущность.

1.5.2 Метод интервалов

Многолетний опыт преподавателей математики убеждает, что учащиеся, успешно решающие тригонометрические уравнения, часто испытывают серьезные затруднения при решении тригонометрических неравенств, допуская много ошибок в окончательном отборе решений, после того как выполнена основная часть работы. Ошибки появляются из-за невнимательности или в силу того, что учащиеся не поняли каких-то специфических особенностей неравенства. Не помогает и проверка. Она не всегда достаточна, для того чтобы обнаружить ошибку. К тому же при наличии в ответе одного-двух интервалов проверка утомительна, а при большем количестве интервалов техническая сложность проверки многократно возрастает.

В связи с этим разработан особый методический подход к заключительному этапу решения тригонометрического неравенства, который удобно разъяснять учащимся с помощью специально составленного алгоритмического предписания.

1. Привести неравенство к такому виду, чтобы в одной его части (например, в правой) стоял ноль.

2. Определить нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства.

3. Расставить на единичной окружности точки, являющиеся представителями всех найденных чисел.

4. Выбрать произвольное число (значение аргумента функции, стоящей в левой части неравенства), не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел.

5. Провести луч под углом к координатному лучу Ох.

6. На луче получить контрольную точку . Для этого подставить число в левую часть неравенства и определить знак получившегося выражения.

Если выражение больше нуля, то - это произвольная точка луча , лежащая вне единичной окружности.

Иначе - это произвольная точка луча внутри единичной окружности.

1. Начиная с точки провести плавную линию так, чтобы она пересекала единичную окружность во всех отмеченных точках последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку .

2. Выбрать нужные участки конфигурации, которую образовала проведённая линия. Для этого:

Если выражение, стоящее в левой части неравенства, больше нуля, то выбрать участки фигуры, лежащие вне единичной окружности.

Иначе – выбрать те участки фигуры, которые расположены внутри единичной окружности.

1. Отметить стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам. Эти дуги соответствую множеству решений неравенства.

Проиллюстрируем данный метод интервалов решения тригонометрических неравенств.

Пример 1. Решите неравенство .

Приведём левую часть неравенства к виду и рассмотрим уравнение , которое равносильно совокупности уравнений: .

Первое из уравнений этой совокупности даёт I серию значений х: ,

Второе из уравнений совокупности приводит ко II серии .

Далее заполним тригонометрическую окружность соответствующими точками. Для I серии достаточно взять . Тогда значения соответственно равны (при остальных значениях n точки будут повторяться). Значения из серии на единичной окружности можно представить точками и , которые получены при n=0 и n=1.

Выберем теперь контрольную точку, положив . Тогда .

Значит, в данном случае луч совпадает с координатным лучом Ох (угол между ними равен нулю). Выберем на луче произвольную точку , находящуюся вне единичной окружности.

Соединим точку со всеми отмеченными точками на единичной окружности так, как показано на рисунке

Решению исходного неравенства соответствуют дуги единичной окружности в тех областях, которые отмечены на рисунке знаком « + « . При записи окончательного ответа следует иметь в виду, что в одной из областей (она показана пунктирной стрелкой) нарушается переход от меньших значений х к большим. В таком случае следует к меньшему значению прибавить . Итак, окончательное решение можно записать в виде совокупности промежутков:

, nZ

Заметим, что если волнообразную линию после обхода ею всех отмеченных на единичной окружности точек не удаётся вернуть в точку , не пересекая окружность в «незаконном» месте, то это означает, что в решении допущена ошибка, а именно пропущено учётное количество корней.

Приведённый пример имеет одну особенность. Серии и дают на единичной окружности несовпадающие точки. Если же некоторые точки разных серий совпадают, то будем называть их кратными. Точки, которые повторяются в чётном числе серий, будем называть точками чётной кратности, а те, что повторяются в нечётном числе серий, - точками нечётной кратности. Волнообразная линия, идущая от точки , после встречи с точкой нечётной кратности обязана перейти в иную область, т.е. если она находилась вне единичной окружности, то теперь будет внутри неё и наоборот. Но точка чётной кратности не даёт нашей линии возможности перейти в иную область. Поясним данный факт на конкретном примере:

Пример 2: Решите неравенство

Рассмотрим совокупность уравнений Отсюда

На единичной окружности значения серии представлены двумя точками 0 и . Серия даёт точки Из серии получаем точки Нанесём все эти точки на единичную окружность указав в скобках рядом с каждой из них её кратность.

Пусть теперь число будет равным . Делаем прикидку по знаку:

. Значит, точку следует выбрать на луче, образующем угол с лучом Ох, вне единичной окружности. (Заметим, что вспомогательный луч совсем не обязательно изображать на рисунке. Точка выбирается приблизительно). Теперь от точки ведём волнообразную непрерывную линию последовательно ко всем отмеченным точкам. Причём в точках наша линия переходит из одной области в другую: если она находилась вне единичной окружности, то переходит внутрь неё. Подойдя к точке линия возвращается во внутреннюю область, так как кратность этой точки чётная. Аналогично в точке (с чётной кратностью) линию приходится повернуть во внешнюю область. Итак, мы начертили некую картинку.

Она помогает нам выделить на единичной окружности искомые области. Они обозначены знаком « +».

Окончательный ответ запишем в виде совокупности неравенств:

[13,c.17-18]

Глава 2. Формирование умений и навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств

2.1 Основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств

В методической литературе существуют различные трактовки понятия «умения». Например, Петровский А.В. под «умениями» понимает способность использовать имеющиеся данные, знания или понятия, оперировать ими для выявления существенных свойств вещей и успешного решения определенных теоретических или практических задач.[22]

По мнению Булыгиной Т.Б. «умения – это способность осознанно выполнять определенное действие».[32]

Матюхина М.В. дает следующее определение: «умение – сочетание знаний и навыков, которое обеспечивает успешное выполнение деятельности». Навыки – это автоматизированные способы выполнения действий. Знания – это разновидность субъективных образов в сознании. Понятие – это форма знания, которая отражает единичное и особенное, являющееся одновременно и всеобщим.[6]

Рассмотрим следующее понятие – «формирование умений». Под ним понимается деятельность учителя, связанная с организацией усвоения определенного элемента социального опыта учеником.

Формирование умений – это овладение всей сложной системой операций по выявлению и переработке информации, содержащейся в знаниях и получаемой от предмета, по сопоставлению и соотнесению информации с действиями.

Формирование умений выступает, прежде всего, как продукт все углубляющихся знаний. Умения формируются на основе освоения понятий о различных сторонах и свойствах изучаемых объектов. Главный путь формирования умений – это приучение учащихся видеть различные стороны в объекте, применять к нему разнообразные понятия, формулировать в понятиях многообразные отношения этого объекта. Учащихся надо научить преобразовывать объект с помощью синтеза через анализ. Применяемые преобразования зависят от того, какие отношения и зависимости требуется установить. Схема таких преобразований и есть план решения задачи.

Научение умениям может осуществляться разными путями. Один из них заключается в том, что учащемуся сообщают необходимые знания, затем перед ним ставят задачи на их применение. И учащийся сам ищет решения, обнаруживая путем проб и ошибок соответствующие ориентиры, способы переработки информации и приемы деятельности. Этот путь называют проблемным обучением. Другой путь заключается в том, что учащихся обучают признакам, по которым можно однозначно распознать тип задач и требуемые для ее решения операции. Этот путь называют алгоритмизированным обучением или обучением на полной ориентировочной основе. Наконец, третий путь заключается в том, что учащегося обучают самой психической деятельности, необходимой для применения знаний. В этом случае педагог не только знакомит учащегося с ориентирами отбора признаков и операций, но и организует деятельность учащегося по переработке и использованию полученной информации для решения поставленных задач. Это достигается систематическим проведением учащегося через все этапы деятельности, требующей ориентировки на признаки, которые закреплены в изучаемом понятии. На первом этапе эти ориентиры (существенные признаки) предмета предъявляются ученику в готовом, материализованном виде, в виде схем, символа, предметов, а операции по выделению ориентиров осуществляются в форме предметных действий. На втором этапе ориентиры и предметные операции заменяются речевыми обозначениями и действиями. На третьем этапе отпадают и словесные действия, их заменяют мыслительные операции, которые протекают по все более свернутой схеме. Эту концепцию называют методикой поэтапного формирования умственных действий.[6]