86306 (Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа), страница 3

Необходимость классификации уравнений и неравенств вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Очевидно, что классифицировать тригонометрические уравнения и неравенства имеет смысл с опорой на методы их решения. Мы будем рассматривать типы уравнений и неравенств в той последовательности, которая представляется нам наиболее приемлемой для обучения школьников, то есть в последовательности, построенной в соответствии с принципом «от простого к сложному».

1.4.1 Уравнения, сводящиеся к простейшим

Практически все тригонометрические уравнения считаются «сводящимися к простейшим», но можно выделить ряд уравнений которые сводятся к простейшим достаточно просто. Рассмотрим сначала виды простейших уравнений.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида: , , , .

На эти уравнения следует обратить особое внимание, так как без умения их решать невозможно решить никакое другое тригонометрическое уравнение. Лучше всего, если учащиеся будут иметь схемы решения каждого из простейших уравнений

У равнение вида

.

Если , то

Если , то (рис 1, а)

Особые случаи:

;

;

;

Любая из этих формул может быть заменена формулой общего вида, однако они проще и их выгоднее применять при решении уравнений.

Полезно помнить, что при ; ;

.

Уравнение вида .

Если , то

Если , то (рис 1, д)

Особые случаи:

;

;

;

Нужно помнить, что при ;

;

.

Уравнение вида .

(рис 1, и)

Нужно помнить, что при ; ;

Уравнение вида .

(рис 1, к)

Нужно помнить, что при ; ;

;

Уравнения, сводящиеся к простейшим, имеют вид , , , .

Данные уравнения также являются простейшими и решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х.

Примеры:

1. ;

2.

3.

1.4.2 Уравнения, являющиеся равенством двух одноимённых тригонометрических функций:

а) уравнения вида равносильно совокупности уравнений:

б) уравнения вида равносильно системе уравнений:

в) уравнения вида равносильно системе уравнений:

Примеры:

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

1.4.3 Тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного и того же аргумента и решаемые методом подстановки

Уравнения данного вида , где тригонометрическая функция часто называются сводящимися к квадратным и решаются методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента некоторого параметра t с учётом допустимых значений t в зависимости от области значения функции.

Пример: Решите уравнение:

Пусть тогда уравнение примет вид:

Оба корня уравнения удовлетворяют условию допустимого значения t, следовательно, переходим к обратной замене.

[29]

1.4.4 Однородные уравнения

Предварительно можно показать учащимся вид однородной функции от двух переменных U и V первой степени, например, 3U + 2V; второй степени: ; третьей степени: и т.д., сформировав понятия выражения, однородного относительно переменных U и V.

Для лучшего усвоения и закрепления идеи необходимо решить с учащимися следующее уравнение:

.

Обозначим

Получается однородное уравнение второй степени:

;

Имеем 2 случая: U = V или V = 0,5 U

Как правило, на практике очень часто встречается .

Примеры:

1. .

Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cosx. При этом получится равносильное уравнение. Чтобы в этом удостовериться, покажем, что уравнение cosx = 0 не содержит корней данного уравнения.

Действительно, если

, то .

Но это невозможно, т.к. .

Следовательно, имеем равносильное уравнение

2. .

Это однородное уравнение второй степени. Получим равносильное уравнение после деления обеих частей уравнения на .

[5, c.9]

1.4.5 Уравнения, решающиеся разложением на множители

При решении уравнений такого типа необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Примеры:

1.

Используя данное правило получим:

или

2.

Сгруппируем соответствующие слагаемые, получим:

1.4.6 Уравнения вида

Один из способов решения такого уравнения состоит в том, что левую часть уравнения можно преобразовать по формуле:

Примеры:

1.

;

, т.к. это решение системы

Подставляя в формулу, получаем:

2.

, т.к. это решение системы

Подставляя в формулу, получаем

К сожалению, внимание учащихся нечасто обращается на преобразование выражения .

В некоторых пособиях эта формула приведена в таком виде

где .

Такая запись приведёт к ошибке, если, например, a и b отрицательны.[10]

Выделенные виды тригонометрических уравнений представлены в пособиях по математике для средней школы. Значит, перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения каждого вида.

1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения

1.5.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

Большинство авторов современных учебников по математике предлагают начать рассмотрение данной темы с решения простейших тригонометрических неравенств. Принцип решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных тригонометрических углов, но и других значений.

Между тем, решение неравенств вида , , , можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток ( ), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: ( ). При этом значение находится легко, т.к. или . Поиск же значения опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.

Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений.

Изучение данной темы осуществляем таким образом:

1. Строим графики и у = а, считая, что .

Затем записываем уравнение и его решение . Придавая n 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: . Значения являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков и у = а. очевидно, что всегда на интервале ( ) выполняется неравенство , а на интервале ( ) – неравенство .

Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства в виде: ; а во втором случае – решение неравенства в виде:

1. Далее проводим аналогичные рассуждения для косинуса

Только в отличие от синуса из формулы , являющейся решением уравнения

, при n = 0 получаем два корня , а третий корень при n = 1 в виде . И опять являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и . В интервале ( ) выполняется неравенство , в интервале ( ) – неравенство

Теперь нетрудно записать решения неравенств и . В первом случае получим: ;

а во втором: .

Подведём итог. Чтобы решить неравенство или , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: .

При решении неравенств , из формулы корней соответствующего уравнения находим корни и , и записываем ответ неравенства в виде: .

Данный приём позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, т.к. этот приём полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие и находить значение переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приёмы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа a и его знака. Да и сам процесс решения неравенства становится кратким и, что очень важно, единообразным.

Ещё одним из преимуществ данного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса.

Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить неравенство . Составим соответствующее уравнение и решим его: