86133 (Операторы проектирования)
Описание файла
Документ из архива "Операторы проектирования", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86133"
Текст из документа "86133"
18
Министерство Образования Российской Федерации
Вятский Государственный Гуманитарный Университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускная квалификационная работа
Операторы проектирования.
Выполнил студент 5курса
математического факультета
Лежнин В.В.
/подпись/
Научный руководитель:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов А.К.
/подпись/
Рецензент:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная М.И.
/подпись/
Допущена к защите в ГАК
З ав. кафедрой М.В. Крутихина
/подпись/ <>
Декан факультета В.И. Варанкина
/подпись/ <>
Киров
2003
Оглавление.
Введение. 2
Часть I. Основные понятия и предложения. 2
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10
Часть III. Задача о дополняемости. 13
Литература. 15
Введение.
В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.
Часть I. Основные понятия и предложения.
Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.
Определение. Пусть d – метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.
Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число , именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:
-
+ x, yX.
-
= xX, - скаляра.
-
> 0, если x0.
Примеры нормированных пространств.
1) l - нормированное пространство, в котором элементы – последовательности комплексных чисел x=(x , …,x , …), удовлетворяющие условию <,
норма в таком пространстве определяется ;
2) L (0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию dx < , и норма определена как = .
3) С [0, 2] – пространство непрерывных 2 периодических функций на отрезке [0, 2]. Норма в нем определяется =
Определение. Пусть X, Y – два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию
A(x +x ) = Ax +Ax .
Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x области определения, если для любой окрестности V точки y = Ax существует такая окрестность U точки x , что Ax принадлежит V, как только x принадлежит пересечению области определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке области определения.
Определение. Линейный оператор, действующий из Е в Е , называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.
Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.
Доказательство.
Пусть М – подмножество ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е не ограничено. Тогда в Е найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств АМ не содержится в V. То тогда существует такая последовательность х из М, что ни один из элементов Ах не принадлежит V, и получается, что х 0 в Е, но последовательность { Ах } не сходится к 0 в Е , а это противоречит непрерывности оператора А.
В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е
.
Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается .
Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X → X называется проектором в пространстве X, если , т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.
Свойства проекторов.
Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).
-
R(P) = N(I-P) = {xX, Px = x}, где I – тождественное отображение;
-
R(P)N(P) = {0} и X = R(P)+N(P);
Доказательство 1.
а) Так как (I-P)P = IP- = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);
б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);
Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).
Доказательство 2.
Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};
Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);
Определение. М – замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MN.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.
Теорема o замкнутом графике.
Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X→Y линейно и множество G={(x, Tx): xX} (его график) замкнуто в XY. Тогда Т – непрерывно.
Предложение 2. Пусть - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что x 0 для некоторого x из X.
Тогда если непрерывен, то ядро N() замкнуто в X.
Доказательство.
Так как N() = ({0}), а {0} – замкнутое множество поля скаляров (как любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность влечет замкнутость ядра (как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении).
Теорема 1.
а) Если Р – непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)N(P);
б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.
Доказательство:
а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)N(P);
Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .
Пусть последовательности x →x и Px →y.
Так как Px принадлежит А, А – замкнуто, следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.
Аналогично x - Px принадлежит В, В – замкнуто, следовательно x-y принадлежит B, значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.
Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.
Расшифровка этого определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение :GGG, определенного равенством: (x,y)=xy .
Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.
Определение. Пространство X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.
Определение. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: кждому элементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T :XX, причем
T = T T , где s, t принадлежат G
и отображение (s, x) T x прямого произведения GX в пространстве X непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.
Теорема 2.
Пусть Y – дополняемое подпространство Фреше Х, и пусть компактная группа G непрерывна и линейно действует на Х, причем Т (Y)Y для любого sG. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т .
Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых, почти всюду конечных функций f (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечной функции f . Тогда
d d
Пример недополняемого подпространства.
Рассмотрим подпространство Y=H пространства Х=L , где L - пространство всех суммируемых функций на комплексной плоскости, а H состоит из всех функций L , для которых (n)=0, при всех n<0. (n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f и вычисляется:
(n)= e dx, (n=0, 1, 2, …). (1)
(для простоты обозначается: f(x)=f(e )).
В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу
e G оператор сдвига , полагая, что
( f)(x) = f(x+s), где s – некоторое вещественное число. (2)
Теперь посмотрим, как изменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге: ( )(n) = e dx.
Произведем замену: x+s = t x = t-s. Тогда
( )(n)= e d(t-s) =
= e e dt=e e dt=e (n),
то есть ( f) (n)= e (n). (3).
Так как e G, то (H ) = H для любого вещественного s.
Если бы подпространство H было дополняемо в L , то из Т2. следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства L на H , что Q = Q для любого вещественного s. (4).
Найдем вид проектора. Положим e (x)=e . Тогда e =e e , а так как оператор Q линеен, то
Q e = e Qe . (5).
Из (4) и (5) следует, что
(Qe )(x-s) = e (Qe )(x). (6).
Пусть С = (Qe )(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид
Qe = C e . (7).
Воспользуемся тем, что образом оператора Q служит подпространство Н . Так как Qe принадлежит H для любого n, то из (7) следует, что
С = 0 для любого n<0. Так как Qf = f для любого f из H , то С = 1 при любом n0.
Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:
Q( e )= e . (8).
Рассмотрим функцию f (x) = e , (0 которая представляет собой ядро Пуассона: , в частности f >0. Поэтому = dx = dx = 1 для любого r. (10) Но (Qf )(x) = e = (11). Так как dx = , то из леммы Фату следует, что , при r 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q. Таким образом, доказано, что H недополняемо в L . Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. Гильбертово пространство. Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и: а) (y,x)= , x, yH; b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z), x, y, zH; c) (x,y)=(x,y), x, yH, C; d) (x,x)0, xH; e) (x,x)=0 x=0, xH; Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение xy). Если Е подмножество Н, F подмножество H, то ЕF обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F. Через Е обозначаются все y из H, ортогональные каждому из векторов x из E. Нормой в пространстве Н называется число . Если полученное нормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовым пространством. Примеры гильбертовых пространств. 1) l - комплексное гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется формулой (x, y) = ; 2) L (0,1) - гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определено формулой (f, g) = dx. Теорема3: М – замкнутое подпространство гильбертова пространства Н, следовательно H можно представить в виде прямой суммы M и М (Н=ММ , М - ортогональное дополнение к М). Доказательство: Если Е подмножество Н, то из линейности скалярного произведения (x,y) по x следует, что Е является подпространством в Н. Допустим, что элементы g принадлежат Е и сходятся к g. Тогда для любого f из E (g, f) = = 0, и потому g тоже входит в Е , значит Е - замкнутое подпространство. (1) Если х принадлежит М и х принадлежит М , то (х, х) = 0, а это будет тогда и только тогда, когда х = 0, следовательно ММ ={0}. (2) Пусть х принадлежит Н. Рассмотрим множество х-М = {х-х : х М}, причем х такой, что он минимизирует величину . Пусть х = х-х , следовательно, для любых y из М, значит, х принадлежит М , поэтому для любого х из Н х можно представить в виде х = х +х , где х из М и х из М . Из (1) и (2) следует, что Н представимо в виде прямой суммы М и М Н=ММ , следовательно любое подмножество в гильбертовом пространстве дополняемо. Примеры дополняемых подпространств в гильбертовом пространстве. 1) в l рассмотрим элементы x = (x , …,x , …), у которых x = 0 при четных n и x произвольные при n нечетных. Эти элементы образуют в l замкнутое подпространство. Назовем его X. Рассмотрим также элементы y = (y , …, y , …), у которых y произвольные при четных n, и y = 0 при нечетных n. Эти элементы образуют замкнутое подпространство в l , и при этом это подпространство является ортогональным дополнением к X, так как их скалярное произведение равно 0. Следовательно, по Т3. X дополняемо в H с помощью X . 2) L (0,1). Пусть X – подпространство L (0,1), состоящее из тех функций L (0,1), которые обращаются в 0 на интервале (0, а]. Пусть Y – подпространство L (0,1), состоящее из тех функций L (0,1), которые в ноль не обращаются на интервале [a, 1). Тогда Y является ортогональным дополнением X, так как их скалярное произведение равно 0, а значит X дополняемо в L (0,1) с помощью Y. Часть III. Задача о дополняемости. Пусть С [0, 2] - множество непрерывных 2 периодических функций на отрезке [0, 2]. Пусть Е – множество четных чисел и пусть С = {f(x) С : (n) = 0 nE}. Требуется доказать, что С дополняемо в С [0, 2]. Доказательство: Чтобы доказать требуемое, необходимо найти такой непрерывный проектор, который бы отображал множество С [0, 2] на С (Т1.), таким образом, чтобы коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах, отображались бы в 0, а на четных оставались бы без изменения. Рассмотрим оператор P = ( +I), где - оператор сдвига на , а I - тождественное отображение. ограничен, так как мы имеем дело с 2 периодическими функциями, так как = = 1 , то есть С = 1. А раз он ограничен, то следовательно и непрерывен (предложение 1). I - тоже непрерывен. Теперь посмотрим, как изменятся коэффициенты Фурье функций при таком отображении. n = 2k-1, где к – целое. (( )(2k-1)+( )(2k-1)) = = (e (2k-1)+ (2k-1)) = (2k-1)( e +1). (*) Так как e =cos +isin , значит e = cos ((2k-1))+isin((2k-1)). При любом k – целом выражение cos ((2k-1))+isin((2k-1)) = -1, а, следовательно, и выражение (*) принимает значение 0. Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах при таком отображении обращаются в 0. n=2k, где k – целое. (( )(2k)+( )(2k)) = (e (2k)+ (2k)) = = (2k)( e +1). (**) При любом k – целом выражение cos (2k)+isin(2k) = 1, а следовательно и выражение (**) не изменяет своего значения, то есть равно (2k). Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на четных номерах при таком отображении не изменяются, то есть оператор Р действительно является проектором. Таким образом, нашелся такой непрерывный проектор P: С [0, 2] С , следовательно С дополняемо в С [0, 2]. Литература. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1989. Рудин Уолтер. Функциональный анализ. М., Наука. 1975. Вулих Б.З. Краткий курс в теорию функций вещественной переменной. М., Наука. 1973.