85842 (Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85842"
Текст 2 страницы из документа "85842"
если , то ;
если , то ;
;
если , и факторы , перспективны, то
если - конгруэнции на и , то
Доказательство. 1). Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то .
2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что , а в силу леммы 2.4 получаем, что .
Пусть - изоморфизм . Обозначим
По лемме 2.5 , а по определению
Следовательно, .
3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций и на алгебре имеет место равенство:
Покажем вначале, что
Обозначим . Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:
а) если , то ;
б) для любого элемента , ;
в) если и , то .
Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда и , . Покажем, что - конгруэнция на . Пусть , . Тогда и , . Так как - конгруэнция, то для любой -арной операции имеем:
Очевидно, что ( , и , . Следовательно, . Очевидно, что для любой пары . Значит, . Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует .
Пусть
Тогда и . Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.
Если , то , значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда . Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому . Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует . Докажем обратное включение. Пусть . Тогда на алгебре определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и , . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения следует, что . Покажем поэтому, что централизует . Так как , и , то , т.е. удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если , то , следовательно, .
Пусть имеет место (3) и . Так как , , то и . Из (4) следует, что , следовательно, , т.е. . На основании леммы 2.2 заключаем, что . Следовательно, . Но так как , то , т.е. .
4) Обозначим . Пусть и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что . Теорема доказана.
Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3 Мультикольцо
Согласно [2] алгебра сигнатуры называется мультикольцом,если алгебра -группа(не обязательно абелева).Все операции из имеют ненулевые арности и для любой -арной операции и любых элементов имеет место = ,для любого . Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной -группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:
где ,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу .
Докажем,например,первое равенство.
Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу
получаем требуемое равенство.
Определение. Подалгебра мультикольца называется идеалом [9],если -нормальная подгруппа группы и для любой -арной операции , произвольного и любых , имеет место
В частности,если -нульарная или унарная операция,то это означает,что
Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.
Теорема 3.1 [2] Пусть -идеал мультикольца и
Тогда -конгуэнция на и любая конгруэнция на имеет такой вид для подходящего идеала .
Доказательство.
Так как
то . Покажем,что -подалгебра алгебры .Проверим вначале замкнутость относительно групповых операций. Пусть , т.е. . Тогда в силу того,что ,получаем
т.е.
т.е. . Пусть теперь -n-арная операция и , Так как -идеал,то получаем
т.е. . Теперь из леммы [8] следует,что -конгруэнция на . Обратно,пусть -конгруэнция на . Положим
Из [8] следует,что -нормальная подгруппа группы . Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что -идеал мультикольца . Теорема доказана.
Следствие 3.2. Решетка идеалов мультикольца изоморфна решетке его конгруэнций.
Определение 3.3 [3].Пусть -идеал мультикольца .Тогда централизатором в называется наибольший идеал в такой,что для любого и любого выполняются следующие условия:
1) ;
2) для любой -арной операции ,любых различных ,произвольных справедливо
Теорема 3.4. Пусть и -идеалы мультикольца и . Тогда и индуцируют на соответственно конгруэнции и , где
тогда
Доказательство :
Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы и ,что справедливы равенства
Очевидно,что -отношенме эквивалентности на , удовлетворяющее условиям 1)-3) определения 2.1.,замкнутость которого относительно групповых операций доказана в примере [8]
Пусть теперь - -арная операция и Тогда
и
для любых Следовательно,
Подставляя в правую часть последнего равенства значения и учитывая,что после раскрытия скобок члены,одновременно содержащие элементы и ,равны нулю , получаем в правой части равенства выражение
Так как -идеал,то
Итак,
тогда .
Теорема 3.5 Пусть и -идеалы мультикольца , , -конгруэнции,определенные в теореме 3.4. и .Тогда .
Доказательство : Пусть -конгруэнции мультикольца и . Обозначим смежные классы по и ,являющиеся идеалами мультикольца, соответственно и . Возьмем произвольные элементы , , . Тогда
Следовательно,для любой -арной операции , любых различных получаем
Из определения 2.1. следует,что
Очевидно,что справедливо и другое аналогичное равенство определения [8] Т.к. из примера [8] следует,что ,то это означает, что .
Очевидно,что из теорем 3.4. и 3.5. и результатов раздела 2 следуют все известные свойства централизаторов подгрупп,а так же свойства централизаторов идеалов мультиколец работы [3](Лемма 2.8).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Результаты данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурса для студентов математического факультета,а так же аспирантами и научными сотрудниками,занимающимися проблемами современной алгебры.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Кон П.М. Универсальная алгебра. - М.: Мир, 1968. - 351 с.
2. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. - М.Наука, 1983. - 272 с.
3. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256 с.
4. Ходалевич А.Д. Универсальные алгебры с -централизаторными рядами конгруэнций // Весцi Акадэмii навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. - 1994. - № 1. - с. 30--34.
5. Smith D.H. Mal'cev varieties // Lect. Notes Math. - 1976. - V. 554. - 158 p.
6. Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1992. - Вып. 7. - с.76--85.
7. Ходалевич А.Д. Класс нильпотентных универсальных алгебр / Ред. ж. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.н. - Минск, 1991. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.02.91: 4555 - В91.
8. Ходалевич А.Д. Прикладная алгебра //Спецкурс.-Гомель:Изд-во Гомельского ун-та,2002.-с.30
9. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.- М.:Наука,1973.-339с.
10. Higgins P.J. Groups with multiple operators //Proc. London math.Soc.-1956.-V.6,--№3.-p. 366--416.
Отзыв
на дипломную работу
``Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр''
студентки 5 курса математического
факультета Шутовой И.Н.
Дипломная работа Шутовой И.Н. посвящена решению задачи изучения формационных свойств подалгебр универсальных алгебр.В отличии от теории многообразий, где основным методом изучения является понятие тождеств, в теории формаций одним из основных является понятие централизуемости. Это связано с определением локальных формаций.