85219 (Пpиближения непpеpывных пеpиодических фyнкций тpигонометpическими полиномами), страница 2

.

При выполнении этих условий будем писать

.

Определение 12. Ядром Дирихле n-го порядка называется функция

(1.10)

Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом

(1.10’)

Определение 13. Ядром Фейера n-го порядка называется функция

(1.11)

Ядро Фейера F_n(t) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка (n-1). Так что имеют место равенства

(1.11’)

(1.11’’)

где D_k(t)-ядра Дирихле.

Определение 14. Ядром Джексона n-го порядка называется функция

(1.12)

Свойства ядер Джексона.

а) При каждом n ядро J_n(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2n-2 вида

,

где j_k=j_k(n) - некоторые числа

б)

в)

г)

Доказательство.

а) Учитывая, что для ядер F_n(t) Фейера имеют место равенства

получим

где j_k(k=1,2,...,2n-2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем

Этим свойство а) доказано.

б) Это равенство следует из равенства, полученного для j₀.

в) Так как при любом и при (**), то

г) Совершенно аналогично случаю в) получим

Что и требовалось доказать.

Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция

, (1.13)

n=1,2,3,...,k-натуральное, где

(1.13’)

Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:

а)

б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро J_n,k(t)

является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k(n-1)

в) n^2k-1, т.е. существуют постоянные С₁₄>0 и С₁₅>0, такие, что при всех n=1,2,3,... будет

г) При любом >0 имеет место неравенство

д) При любом натуральном

Доказательство свойств ядер типа Джексона.

а) Это свойство вытекает из равенств определения

б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет

(1.14)

где - некоторые целые числа.

в) Учитывая неравенства (**), будем иметь

(1.15)

С другой стороны

(1.15‘)

г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)

д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)

(1.16)

где A-const, а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sintt, при всех t0 (***), имеем

(1.16‘)

A₁-const. Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.

§2. Простейшие свойства модулей нерперывности.

Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции f₁, f₂, ... - непрерывны.

ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого 0

(2.1)

Доказательство: по определению,

Лемма доказана.

ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, lТогда для любого 0

(2.2)

и

(2.3)

Доказательство: Положим

Тогда для 0lимеем

откуда

Отсюда при l=0 вытекает, что

,

а при 0<l<k

Полагая в (2.3) l=1, находим, что

Из этого неравенства видно, что для любого натурального k

. (2.4)

ЛЕММА 3. Для любого натурального k модуль непрерывности k-го порядка является непрерывной функцией от .

Доказательство: Пусть Имеем

Отсюда

и

Таким образом

и так как при , то отсюда вытекает непрерывность функции , и лемма доказана.

ЛЕММА 4. Пусть k и p-натуральные числа. Тогда для любого 

(2.5)

Доказательство: Индукция по k даёт формулу

Отсюда

и

Лемма доказана.

ЛЕММА 5. Пусть k-натуральное число, Тогда

(2.6)

Если кроме того 0<то

(2.7)

Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для . Найдём натуральное число p из условий

(2.8)

Тогда p^-1, и так как -является неубывающей функцией от , то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим

Рассмотрим случай для . Найдём натуральное число p из условий

(2.9)

Тогда p, и так как -является неубывающей функцией от , то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим

,

и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как  для 0<

Н еравенство (2.7) показывает, что для любой f0 и любого натурального k

(2.10)

Лемма доказана.

ЛЕММА 6. Пусть f имеет r-ю производную f^(r). Тогда

(2.11)

и для любого натурального k

(2.12)

Доказательство: Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы

Если k=0, то мы получаем формулу (2.11). Лемма доказана.

§3. Обобщение теоремы Джексона.

Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами.

Лемма 7. Пусть дано натуральное число k. Существует последовательность ядер{K_n(t)}(n=0,1,...), где K_n(t) есть тригонометрический полином порядка не выше n, удовлетворяющая условиям:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядер K_n(t) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить

где k₀-целое, не зависит от n, натуральное p определяется из неравенства

,

а b_p выбираются так, чтобы была выполнена нормировка (3.1).

Лемма 8. Если последовательность ядер {K_n(t)} удовлетворяет всем условиям предыдущей леммы, то

(3.4)

Доказательство. Имеем, пользуясь (3.2) и (3.3)

Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть k-натуральное число. Тогда

(3.5)

Доказательство. Пусть последовательность ядер {K_n(t)} (n=1,1,2,...) удовлетворяет всем условиям леммы 7. Положим

Очевидно, есть тригонометрический полином порядка не выше n-1. Оценим Имеем

Поэтому

(3.6)

Оценим последний интеграл. Полагая в неравенстве (2.6) , получим, что

Отсюда и из (3.4) следует:

Подставляя эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Пусть k-натуральное число, r-целое неотрицательное. Тогда

(3.7)

В самом деле, согласно (2.12)

и применение теоремы 1 даёт (3.7).

§4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна.

В этом параграфе формулируется одно обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от тригонометрического полинома.

Теорема 2. Пусть . Тогда для любого натурального k

(4.1)

и неравенство обращается в неравенство в том и только в том случае, если

Доказательство этого неравенства опубликовано в работе С.Б.Стечкина [2].

Отметим несколько следствий из этого неравенства.

Следствие 2.1. (неравенство С.Н.Бернштейна):

(4.2)

Полагая в (4.1) , получаем

(это неравенство доказано С.М.Никольским [5]) но по лемме 2 §2,

откуда и следует (4.2).

Два последних неравенства одновременно обращаются в равенство только в случае, если

Следствие 2.2. Пусть . Тогда

(4.3)

Первое неравенство совпадает с утверждением теоремы 2, а второе вытекает из оценки

(4.4)

Таким образом, для средний член в (4.3) заключен между двумя пределами, зависящими только от .

Следствие 2.3. Пусть . Тогда

(4.5)

В частности,

(4.6)

Следствие 2.4. Пусть Тогда

(4.7)

В частности, для имеем

(4.8)

В самом деле, из (4.4) или (2.12) следует:

и остается воспользоваться неравенством (4.5).

Следствие 2.5. Пусть Тогда

. (4.9)

Вторая половина неравенства совпадает со следствием 2.4, а первая непосредственно вытекает из (2.7).

§5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию.

В этом параграфе устанавливается, что если тригонометрический полином t_n(x) близок к заданной функции f, то его модули непрерывности можно оценить через модули непрерывности f.

Теорема 3. Зафиксируем натуральные числа k и n и пусть

(5.1)

Тогда для любого

(5.2)

(5.3)

(5.4)

и

(5.5)

Предварительные замечания. Неравенства (5.2) и (5.4) предпочтительнее для больших , а (5.3)-для малых. Если , то (5.2) сильнее, чем (5.4); однако (5.4) имеет более симметричную форму и часто удобнее в приложениях.

Доказательство. Докажем (5.2). Пользуясь (2.1), (2.2) и (5.1), имеем

Докажем (5.5). Положим в (5.2) . Тогда получим :

после чего (4.5) даёт (5.5).

(5.3) следует из (5.5) в силу (2.11).

Остаётся доказать (5.4). Пусть сперва . Тогда из (5.4) следует:

Рассмотрим, наконец, случай . Из неравенства (2.7) выводим

Подставляя эту оценку в (5.3), получаем (5.4) для .

Таким образом, теорема полностью доказана.

Следствие 3.1. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n

(5.6)

Тогда для любого >0

(5.7)

равномерно относительно n.

Следствие 3.2. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n

Тогда

(5.8)

Теорема 4. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы

(5.9)

равномерно относительно n.

Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то .

Теорема 5. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы

(5.10)

Это доказывается аналогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться следствием 3.2.

Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые части явно зависят от константы С₂₀. Таким образом, если вместо фиксированного номера n и одного полинома t_n рассматривать последовательность полиномов {t_n} (n=1,2,...), то С₂₀ окажется, вообще говоря, независящей от n и теорема 3 даёт оценки, не равномерные относительно n. Покажем как избавиться от этого неудобства.

Теорема 6. Пусть для некоторого натурального k

(5.11)

и

(5.12)

Тогда для любого >0

(5.13)

равномерно относительно n.

Доказательство. Пусть сперва . Из неравенства (5.2) следует, что

и на основании (5.11)

(5.14)

Рассмотрим случай . Положим в (5.14) . Тогда получим

Из этого неравенства, в силу (4.7), следует, что

Но так как, по условию, , то

Отсюда

Окончательно,

и теорема доказана.

В следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничения (5.11) теоремы 6.

§6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и

Ш. Валле-Пуссена.

В этом параграфе обобщаются и уточняются так называемые “обратные теоремы” теории приближения. Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции f, если известны свойства последовательности её наилучших приближений {E_n}.

Лемма 9. Зададим натуральное число k, и пусть

(6.1)

и

. (6.2)

Тогда

(6.3)

Доказательство. Имеем, согласно (2.1),

Но из (2.10) и (6.2) получаем

а из (2.2) и (6.1)

Поэтому

левая часть этого неравенства не зависит от n, а поэтому

и лемма доказана.

Для получения хороших оценок обычно достаточно взять . Однако на исключена возможность, что в некоторых случаях другой выбор может оказаться предпочтительнее.

Теорема 7. Пусть k-натуральное число, функция не убывает и

(6.4)

Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

(6.5)

Доказательство. Необходимость условия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установим его достаточность, для чего воспользуемся леммой 9. Получаем:

Положим здесь ; тогда для будем иметь и поэтому

и теорема доказана.

Отметим два следствия из этой теоремы.

Следствие 7.1. Пусть k-натуральное число, функция не убывает и

(6.6)

Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

(6.7)

Следствие 7.2. Пусть k-натуральное число и Если

и

(6.8)

то

равномерно относительно n.

Это вытекает из теорем 7 и 6.

Теорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить . Теперь мы получим оценки для , исходя только из условий вида (6.4). Попутно выясняется, что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию условие (6.5) становится излишним. Суть дела в том, что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5).

Лемма 10. Пусть

(6.9)

где . Тогда для любого натурального k

(6.10)

Доказательство. Зафиксируем натуральное число n, определим натуральное p из условий

и построим последовательность номеров положив

Для оценки представим в таком виде:

Так как , то отсюда

(6.11)

Оценим U_l^(k). Имеем для l=1,2,...,p

откуда

Но есть тригонометрический полином порядка не выше n_l. Поэтому по неравенству С.Н. Бернштейна,

(6.12)

Заметим теперь, что, в силу определения последовательности {n_l},

и для

Поэтому, пользуясь ещё монотонностью последовательности {F_n}₂ находим, что для

(6.13)

При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:

и лемма доказана.

Теорема 8. Для любого натурального k и любого

(6.14)

Доказательство. Имеем

Отсюда, по лемме 10,

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем:

Если , то . Кроме того,

Поэтому для

и теорема доказана.

Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничениях на {E_n} условие (6.4) влечёт

Теорема 9. Зададим натуральное число k; пусть и . Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

(6.15)

Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для

Положим здесь и заметим, что тогда для и, в силу условия ,

Поэтому для

и теорема доказана.

Следствие 9.1. Пусть и . Тогда для всех натуральных классы эквивалентны.

Следствие 9.2. Пусть и . Если

то для любого фиксированного натурального

равномерно относительно n.

Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных f ^(r)?

Теорема 10. Зададим натуральное число r, и пусть

(6.16)

где

(6.17)

Тогда f имеет непрерывную производную f^(r) и

(6.18)

С.Н.Бернштейн [3] доказал такую теорему: если ряд сходится, то функция f имеет непрерывную производную f ^(r). Рассмотрение этого доказательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f^(r) и равномерно относительно x. В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение.

Доказательство. при . Поэтому равномерно относительно x. Отсюда следует, что если {n_k} (k=0,1,2,...) есть возрастающая последовательность номеров, то

Зафиксируем натуральное число n и положим

Тогда будем иметь

(6.19)

где

Докажем, что формулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е.

(6.20)

Для этого достаточно установить, что ряд справа равномерно сходится. Прежде всего, оценим . Имеем

откуда

Оценим теперь . По неравенству С.Н.Бернштейна,

Пользуясь этой оценкой, получаем:

Но

Поэтому

(6.21)

Итак, доказана сходимость ряда , а вместе с этим установлена и формула (6.20). Из (6.20) и (6.21) вытекает, что

и теорема доказана.

В некоторых случаях оценка (6.18) может быть упрощена. Пусть, например,

(6.22)

Тогда

Поэтому при выполнении условия (6.22) вместо (6.18) можно написать

Следствие 10.1. Пусть r-натуральное число и сходится ряд

Тогда

(6.23)

Теорема 11. Пусть r-натуральное число и для функции f сходится ряд

Тогда для любого натурального k и любого

(6.24)

Доказательство. Имеем

Отсюда, по лемме 10,

Далее, согласно теореме 10,

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем

Заметим, что

Таким образом, если , то

и теорема доказана.

§7. Основная теорема.

Обратимся теперь к рассмотрению следующего вопроса: каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы

где -заданная невозрастающая функция?

Насколько нам известно, эта задача не была до сих пор решена даже для случая . Мы решим её для функций сравнения .

Лемма 11. Пусть и для некоторого натурального

(7.1)

Тогда существует такая константа с>0, что

(7.2)

Доказательство. Согласно (7.1), найдутся две такие константы С₆₀>0 и C₆₁>0, что

(7.3)

Последнее из этих неравенств, теорема 1 и теорема 3 влекут неравенство

(7.4)

В силу (2.1) и (2.2), имеем

Отсюда

Пользуясь (7.3) и (7.4), находим, далее

(7.5)

Вспомним теперь, что . Это даёт нам для

Подставляя эту оценку в (7.5), получаем

(7.6)

Мы можем без ограничения общности считать, что здесь . Положим в (7.6)

Тогда получим окончательно

и лемма доказана.

Основная теорема. Пусть . Для того чтобы

(7.7)

необходимо, чтобы для всех натуральных , и достаточно, чтобы для некоторого натурального

. (7.8)

Доказательство. Пусть имеет место (7.7), т.е. найдутся две положительные константы С₆₇ и С₆₈, для которых

(7.9)

Тогда, по теореме 1 и в силу первой половины неравенства (7.9), для любого k имеем

т.е.

Отсюда, в силу ,

и если , то, ввиду монотонности и ,

Далее, из второй половины неравенства (7.9) и теоремы 9 вытекает существование константы С₇₂ такой, что для любого

Этим заканчивается доказательство необходимости условия (7.8).

Пусть имеет место (7.8):

(7.10)

с С₇₃>0. Тогда по теореме 1 и в силу второй половины неравенства (6.10),

а по лемме 11,

где С₇₇>0.

Таким образом, установлена достаточность условия (7.8), и основная теорема полностью доказана.

Приведём в заключение обобщение леммы 11 на тот случай, когда оценки сверху и снизу имеют разные порядки.

Теорема 12. Пусть и

(7.11)

Тогда

(7.12)

Доказательство. Имеем, как при доказательстве леммы 11,

Положим здесь

Тогда получим, что

Теорема доказана.

§8. Решение задач.

Пример 1. Пусть Тогда при каждом

Пример 2. Пусть график функции f(x) имеет вид, изображённый на рис.8.1. Тогда график функции показан на рис.8.2.

Рис. 8.1. Рис. 8.2.

Пример 3. Пусть при

и пусть - периодическое продолжение функции на всю ось.

Рис. 8.3.

Рис. 8.4.

Тогда если функцию рассматривать на сегменте длины так, что (рис. 8.3)

то (рис. 8.4)

т.е. модуль непрерывности функции в точке не достигает своего наибольшего значения и, следовательно, отличается от модуля непрерывности этой функции на всей оси.

Пример 4. При функция

является модулем непрерывности.

Пример 5. При функция

является модулем непрерывности.

Пример 6. При имеем так что при всех будет

.

Литература.