183935 (Теория игр и статических решений)

Контрольная работа по курсу «Теория игр»

2. Найдите решение по доминированию в данной игре:

1. Заполните пропуски в таблице так, чтобы в этой игре в чистых стратегиях было бы 3 равновесия по Нэшу. Найдите все равновесия в смешанных стратегиях (любым способом).

стратегия игра равновесие

	a		b
A		Ф			?
	?			И
B		?			О
	В			?

1. Двое бегут по лыжной трассе навстречу друг другу. У каждого лыжника 2 стратегии: «уступить» и «не уступить». Если один из игроков уступает другому, то его потери - О секунд, второй – не теряет ничего; если же лыжники сталкиваются, то оба теряют В секунд.

1. Составьте платежную матрицу этой игры. Найдите равновесия в чистых стратегиях.

2. Нарисуйте линии откликов игроков и найдите смешанные равновесия в этой игре.

3. Допустим теперь, что у игроков теперь 3 стратегии: «не уступить», «уступить» и «уступить пол-лыжни». Если оба уступили друг другу пол-лыжни, то потери каждого И секунд, если же один уступил пол-лыжни, а второй - нет, то лыжники столкнутся, и потери при столкновении у уступившего – В+И секунд, у неуступившего - В секунд. Найдите все равновесия по Нэшу (в чистых и в смешанных стратегиях).

1. Профсоюз заключает с фирмой соглашение на несколько лет об уровне заработной платы w>0. Профсоюз максимизирует функцию совокупной прибыли членов профсоюза (зарплата за вычетом издержек от работы): u(w,L)=wL-И*L², фирма максимизирует свою прибыль (выпуск за вычетом зарплаты): П(w,l)=Ф*L^0.5-wL.

1. Найти равновесный уровень заработной платы и занятости в статической игре.

2. Каково равновесие в динамической игре, если профсоюз достаточно мощный, чтобы навязать фирме любой уровень заработной платы, после чего фирма не может менять уровень заработной платы в течение срока контракта, но может нанимать любое количество труда L>0.

3. Каково равновесие в динамической игре, если фирма – монополист на рынке труда, и она может установить любую заработную плату, после чего профсоюз может только регулировать численность работающих на монополиста.

1. В этой игре с нулевой суммой найдите равновесие в осторожных стратегиях. Существует ли в этой игре равновесие по Нэшу в чистых стратегиях?

	c1	c2	c3	c4	c5
s1	5	2	3	6	4
s2	4	1	1	5	0
s3	6	0	4	9	-3

1. На корабле 50 пиратов делят 100 кусков золота по следующему правилу: первым дележ предлагает капитан. Если хотя бы половина команды (включая капитана) согласна, то на этом игра и заканчивается. Если нет, то капитана выбрасывают за борт и дележ предлагает следующий по старшинству и т.д. Найдите совершенное подыгровое равновесие в этой игре.

2. Приведите пример стратегического взаимодействия из вашей реальной жизни (укажите для этой игры – игроков; возможные стратегии участников; характер игры (с обоснованием): статическая или динамическая, с полной информацией или нет, с совершенной информацией или нет). Какое решение в этой игре было достигнуто в реальном мире? Попытайтесь объяснить - почему именно это решение реализовалось.

Пример должен быть действительно из реальный жизни, а не просто получаться из семейного спора заменой «муж» на «зять» и «театр» на «рыбалка» - такие примеры оцениваются в 0 балов!

2. Найдите решение по доминированию в данной игре

	a	b	c	d
A	2 5	6 2	4 1	3 0
B	1 4	4 3	1 2	2 1
C	0 1	1 1	5 1	1 5
D	3 2	1 0	2 0	4 4

Решение:

1. В исходной игре стратегия d строго доминирует стратегию a. Больше строго или нестрого доминирующих стратегий у первого или второго игрока нет. Очевидно, что второй игрок не будет играть стратегию a и ее можно исключить.

Получаем:

	b	c	d
A	6 2	4 1	3 0
B	4 3	1 2	2 1
C	1 1	5 1	1 5
D	1 0	2 0	4 4

1. В получившейся игре видим, что стратегия С первого игрока строго доминирует стратегию D. А также стратегия В строго доминирует стратегию А. Рассмотрим оба варианта. В первом – вычеркиваем стратегию D, во втором – стратегию А.

Получаем:

	b	c	d
A	6 2	4 1	3 0
B	4 3	1 2	2 1
C	1 1	5 1	1 5
	b	c	d
B	4 3	1 2	2 1
C	1 1	5 1	1 5
D	1 0	2 0	4 4

1. В полученной игре в обоих вариантах получаем, что у второго игрока нет строго доминирующих стратегий. Однако в первом варианте у второго игрока есть нестрого доминирующая стратегия b (доминирует стратегию d). Во втором же варианте у второго игрока нет строго или нестрого доминирующих стратегий. Однако по-прежнему есть строго доминирующая стратегия C первого игрока, которая доминирует стратегию D.

Продолжим рассматривать 2 варианта игры: в первом варианте вычеркиваем стратегию d, а втором – стратегию D. Получим 2 игры:

	b	c
A	6 2	4 1
B	4 3	1 2
C	1 1	5 1

	b	c	d
B	4 3	1 2	2 1
C	1 1	5 1	1 5

1. В первом варианте полученной новой игры видим, что стратегия B первого игрока строго доминирует и стратегию А и стратегию C. Во втором же варианте видим, что стратегия b второго игрока нестрого доминирует стратегию d. Исключив в первом варианте стратегию A получим новую игру, совпадающую с вариантом, если во втором варианте исключить стратегию d. Еще один вариант игры получается исключением стратегии С в первом варианте игры. Итого вновь имеем 2 возможных варианта игры.

	b	c
B	4 3	1 2
C	1 1	5 1

	b	c
A	6 2	4 1
B	4 3	1 2

1. В первом варианте получившейся игры видим, что у второго игрока нет доминирующих стратегий. Во втором же варианте он имеет строго доминирующую стратегию b (доминирует стратегию с). Однако в первом варианте у первого игрока остается строго доминирующая стратегия B (доминирует стратегию С).

Исключим в первом варианте стратегию С, во втором – с.

	b	c
B	4 3	1 2

	b
A	6 2
B	4 3

1. В первом варианте стратегия b второго игрока строго доминирует стратегию с. Во втором варианте стратегия B первого игрока строго доминирует стратегию А. Вычеркнув в обоих вариантах строго доминируемые стратегии, получим одинаковый вариант игры:

	b
B	4 3

На основании этого можно сделать вывод, что в исходной игре должен реализоваться исход (B, b).

2. Заполните пропуски в таблице так, чтобы в этой игре в чистых стратегиях было бы 3 равновесия по Нэшу. Найдите все равновесия в смешанных стратегиях (любым способом).

	a	b
A	7 ?	? 4
B	? 25	9 ?

Решение: