183772 (Построение экономико-математических моделей)

Контрольная работа

по экономико-математическим методам

Задача №1

Условие задачи:

Администрация штата объявила торги на n строительных подрядов для n фирм. Ни с одной фирмой не заключается более одного контракта. По политическим соображениям чиновники администрации стремятся не заключать более N крупных контрактов с фирмами, расположенными за пределами штата. Обозначим через 1,2, …, s крупные контракты, а через 1,2,…,t - фирмы, расположенные за пределами штата. Целью является минимизация общих затрат при указанном условии. Постройте соответствующую данным условиям модель.

Решение:

Пусть х - затраты на строительство, тогда цель задачи "минимизация общих затрат" будет выражена через функцию

F = x → min

Пусть х₁ - затраты на строительство при подряде местных строительных фирм, х₂-затраты на строительство при подряде строительных фирм, расположенных за пределами штата.

F = n*х₁+n*х₂ → min

S*t ≤N

n_n ≤1

х₁, х₂≥ 0

Задачу минимизации общих затрат на строительство можно записать как задачу математического программирования

n n t s

F =∑ ∑ Cij *Хij+∑ ∑ Cij*Yij → min

i=1 j=1 i=1 j=1

При ограничениях

Хij ≤ 1; I, j= 1, n

Yij ≤ 1; I, j= 1, n

∑ij≤ N; i=1, t; j=1s

Хij, Yij ≥0

Через Хij обозначен факт заключения администрацией штата с i - той фирмой, расположенной на территории штата, j - того контракта (подряда)

1, i - ая фирма заключила - контракт

Хij = 0, i - ая фирма не заключила - котракт

Через Yij обозначен факт заключения администрацией штата i - oй фирмой, расположенной за пределами штата, j - того контракта.

Через Cij обозначены затраты на строительство по j - тому контракту с i - ой фирмы.

Целевая функция представляет собой суммарные затраты. Первые два условия ограничивают количество заключаемых с одной строительной фирмой контрактов в количестве ≤ 1, третье условие ограничивает количество заключаемых контрактов с фирмами расположенными за пределами штата, в количестве не более N, четвертое условие очевидно исходя из условия данной задачи.

Задача № 2

Условие задачи:

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов.

Количество корма каждого вида, которые должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице.

В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Решение:

Введем переменные.

Пусть х - это количество лисиц и песцов, которое следует выращивать на ферме.

Х_{1 -} это количество лисиц, которое следует выращивать на ферме.

Х₂ - это количество песцов, которое следует выращивать на ферме.

Цель задачи: максимизация прибыли от реализации шкурок песцов и лисиц. Целевая функция:

F =16х₁ + 12х₂→ max

Посмотрим как будут выглядеть данные в задаче ограничения:

2х₁+3х2≤180 - ограничения корма 1

4х₁+х₂ ≤ 240 - ограничения корма 2

6х₁+7х₂ ≤ 426 - ограничения корма 3

х₁, х₂≥ 0, € Z

После решения задачи в программе XL получены результаты:

57 лисиц и 12 песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль была максимальной.

Задача № 3

Условие задачи:

Найти оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур: озимой ржи, пшеницы, картофеля под посевы отведено 1000га пашни, которая должна использоваться полностью. При этом общие ресурсы труда составляют 30000 человек. Производство культур характеризуется показателями таблицы:

По плану требуется произвести 32000ц зерна, 40000ц картофеля. Критерий оптимизации - минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции. Решить прямую и двойственную задачи. Провести послеоптимизационный анализ.

Прямая задача:

Пусть х - это количество га занятых под продовольственные культуры, тогда Х₁ - кол-во га, занятых под озимой рожью, Х₂ - кол-во га, занятых под озимой пшеницей, Х₃ - кол-во га, занятых под картофелем.

Целью задачи является - минимизация денежно-материальных затрат на производство продукции, т.е.

F = 214x₁+226x₂+782x₃ → min

Выделим ограничения, определенные условиями задачи:

x₁+x₂+x₃=1000,16x₁+20x₂+80x₃≤ 30000,32x₁+40x₂ ≥ 32000,250x₃ ≥ 40000,x₁, x₂, x₃ ≥ 0.

Решаем задачу в программе XL и получаем результат:

Х₁, т. е количество га, занятых под озимой рожью=125га.

Х₂, т. е количество занятых га под озимую пшеницу =700га.

Х₃, т. е количество занятых га под картофель=175га.

Это будет оптимальное сочетание посевов трех продовольственных культур. Затраты на производство продукции составили 825руб.

Двойственная задача:

На первом этапе приведем прямую задачу к двойственной задачи.

х₁+x₂+x₃ ≥1000

х₁+x₂+x₃ ≤ 1000

16x₁+20x₂+80x₃ ≤ 30000

32x₁+40x₂ ≥ 32000

250x₃ ≥ 40000

x₁ x₂ x₃ ≥ 0

матрица ограничений. Умножаем на - 1.

x₁-x₂-x₃ ≤-1000

x₁+x₂+x₃ ≤ 1000

16x₁+20x₂+80x₃ ≤ 30000

32x₁-40x₂ ≤ - 32000

250x₃ ≤ - 40000

x₁, x₂,x₃ ≥ 0

транспонированная матрица коэффициентов ограничения

х₁ х₂ х₃

у_{1 -} 1 - 1 - 1 - 1000

у₂ 1 1 1 1000

у₃ 16 20 80 30000

у_{4 -} 32 - 40 0 - 32000

у₅ 0 0 - 250 – 40000

Целевая функция двойственной задачи будет выглядеть следующим образом:

Z = - 1000y₁ +1000y₂ + 30000y₃ - 32000y_{4 -} 40000y₅ → max

y₁+y₂+16y₃-32y₄ ≤ 214

y₁+y₂+20y₃-40y₄ ≤ 226

y₁+y₂+80y₃-250y₅ ≤ 782

решаем ограничения в программе XL