183653 (Решение задач симплекс-методом), страница 3

3-я итерация

Подставив значения неизвестных в исходные неравенства, получаем:

1 * 26,3 + 1 * 24,3 + 0 * 3,6 ≥ 50

4 * 26,3 + 1 * 24,3 + 3 * 3,6 ≥ 140

1 * 26,3 + 4 * 24,3 + 1 * 3,6 ≥ 127

0 * 26,3 + 3 * 24,3 + 2 * 3,6 ≥ 80

Стоимость сырья при этом будет минимальной и составит:

F = 8 * 26,3 + 12 * 24,3 + 12 * 3,6 = 537,2

ЗАДАЧА 3

Составить оптимальный план перевозок пищевых продуктов от 4-х по­ставщиков к 6-ти потребителям. Поставщики (П), потребители (М), объемы вы­воза и завоза, кратчайшие расстояния между пунктами вывоза и завоз приведены в таблице.

Решение задачи начинается с распределения у имеющихся у поставщиков объемов вывоза между потребителями с учетом объемов завоза. Для первоначального распределения используются способы: северо-западного угла, наименьшего элемента по строке, наименьшего элемента по столбцу, наименьшего элемента матрицы.

Способ северо-западного угла состоит в том, что распре­деление объемов вывоза производится, начиная с верхнего лево­го угла таблицы и кончая нижним углом ее. Результаты распреде­ления показаны в таблице.

Проверка плана на оптимальность. Когда исходный план получен и рассчитана соответствующая ему суммарная тонно-километровая работа, определяют, является ли этот план оптимальным. Для проверки плана на оптимальность применяется метод потенциалов.

Сущность метода потенциалов состоит в том, что для каж­дой строки и каждого столбца таблицы (матрицы) определяют спе­циальные числа, называемые потенциалами. С помощью этих потен­циалов можно установить, нужно ли заполнять свободную клетку матрицы или ее нужно оставить незаполненной.

Для решения задач методом потенциалов исходный план дол­жен иметь количество заполненных клеток m + n – 1 (m - число строк, n - число столбцов). Если план не отвечает этим требованиям, то не для всех строк и столбцов можно рассчи­тать потенциалы, а без них нельзя проверить план на оптималь­ность.

Потенциалы строк и столбцов определяются по заполненным клеткам, находящимся на их пересечении.

Элемент заполненной клетки должен равняться сумме потен­циалов строки и столбца, на пересечении которых находится эта заполненная клетка.

Для начала вычислений первый потенциал для строки или столбца принимается условно равным нулю, все остальные потенциалы определяются с помощью элементов заполненных клеток.

Обозначив потенциалы строк u_i, потенциалы столбцов Vj, элементы заполнения клеток , можно записать порядок расчета потенциалов для общего случая.

Из основного требования = u_i + Vj вытекает:

u_i = - Vj; Vj = - u_i

Из этих выражений видно, что для расчета потенциала строки необходимо иметь заполненную клетку, в столбце которой потенциал уже определен, а для расчета потенциала столбца нужна заполненная клетка, имеющая потенциал в строке.

Потенциалы показаны в таблице.

После того, как по строкам и столбцам определены потенциа­лы, с их помощью выясняется, является ли план оптимальным, и если нет, то как его можно улучшить. С этой целью для каждой свободной клетки вычисляется сумма потенциалов строк и столбцов, на пересечении которых находится эта клетка.

Сравнение суммы потенциалов с величиной элемента в свобод­ных клетках позволяет определить, нужно ли заполнять эту клетку или ее нужно оставить свободной.

При решении задач на минимум функционала (в нашем случае на минимум тонно-километровой работы) не заполняются те свобод­ные клетки, в которых сумма потенциалов меньше величины эле­мента (в нашем случае - расстояния).

Иными словами, если характеристика, значение которой равно разности - (u_i + Vj), положительная, то свободная мет­ка не заполняется при решении задачи на минимум функции.

Свободные клетки, имеющие нулевое значение характеристики, показывают на то, что их заполнение приведет к перераспределению поставок, но объем работ (значение функционала) останется неиз­менным.

Суммы потенциалов, значения элементов и характеристики для незаполненных клеток приведены в таблице.

В первоначальном плане шесть клеток имеют положительные характеристики, в девяти клетках характеристики отрицательные.

Так как задача решается на минимум целевой функции, то именно эти отрицательные клетки должны быть заполнены поставщиками. Но заполнение свободной клетки и связанное с ним пере­распределение поставок производится не изолированно, а в связи с несколькими заполненными клетками. Эта связь выявляется путем построения замкнутых многоугольников, вершинами которых явля­ются клетки таблицы. Одна вершина многоугольника находится в свободной клетке, а все остальные - в заполненных клетках. Многоугольник, или как его называют цепь, имеет прямые углы и четное число вершин.