183604 (Підходи до моделювання активного ризику)

Зміст

1. Підходи до моделювання активного ризику

2. Задача 1

3. Задача 2

Список використаної літератури

2. Підходи до моделювання активного ризику

Планування за середніми

Загальна модель оптимального виробничого планування, в якій вимагається здійснити вибір ресурсно припустимих інтенсивностей технологій, спрямований на максимізацію ефекту ( прибутку ):

(c, x) → max (1)

Ах ≤ b (2)

x ≥ 0 (3)

де

А — матриця питомих витрат-випуску;

b — вектор ресурсів інгредієнтів;

с — вектор питомих ефективностей технологій;

х — вектор їх інтенсивностей.

Нехай масив (с, А, b) складається з випадкових величин, тобто залежить від ω — випадкової ситуації або елементарної події деякого імовірнісного простору ( Ω A, P), де Ω — множина елементарних подій; А — алгебра подій, визначена на цій множині; Р — імовірнісна міра.

Якщо в (1) — (3) формально підставити замість с, А, b — с (ω), А (ω), b ( ω ) то правильнішого формулювання задачі ми не отримаємо. Іноді компоненти с (ω), А (ω), b ( ω ) замінюють їх середньоочікуваним значенням (математичними сподіваннями) і розглядається задача

(4)

А (о)) (5)

х ≥ 0 (6)

де

ξ — масив, кожна компонента якого являє собою математичне сподівання відповідної компоненти випадкового масиву ξ.

Визначення плану на підставі (4)-(6) еквівалентне припущенню, що при прийнятті рішення використовуються середньоочікувані значення випадкових параметрів. Такий метод має істотні недоліки. Розглядаючи нерівність (5), яка означає, що використання ресурсів у середньому не перевищує їх кількості. Однак наявність балансу в середньому зовсім не означає узгодженості реальних витрат ресурсів з їх реальною наявністю. План, обраний згідно з (5), у більшості випадків може виявитись -нереальним.

У виразах (4)-(6) математичні сподівання можна замінити на моди випадкових величин — їх найбільш імовірними значеннями. Однак і цей метод має такі ж недоліки, оскільки план, найкращий при модальних значеннях, може виявитись нереальним для переважної більшості інших випадків.

Заміна випадкових величин їх очікуваними значеннями припустима при малих відносних розкидками величин. Причому апріорно вказати ступінь мализни досить важко. Характеристиками відносних розкидів випадкового параметра можуть бути відношення М І ξ – Мξ І / Мξ або σ/Мξ, де Мξ — математичне сподівання, σ = √Dξ, Dξ — дисперсія ξ.

Якщо розкидками випадкових величин знехтувати не можна, то загальною причиною непридатності планування за середнім є те, що множина значень випадкових параметрів ототожнюється з одним якимось значенням. Звичайно, що при цьому втрачається більшість інформації про інші можливі значення випадкових параметрів.

З плануванням за середніми спряжений спосіб, який ґрунтується на дослідженні моделі [4]-[6] на стійкість за допомогою теорії двоїстості та маргінальних співвідношень. Особа, яка приймає рішення, обирає план з оптимального плану моделі [4]-[6].

Недоліком цього підходу є те, що стійкий план визначається на підставі однієї числової характеристики випадкових параметрів без врахування їхніх змін, зважених за ймовірностями.

Планування за варіантами

Протилежністю планування за середніми є певною мірою планування за варіантами (ситуаційний, сценарний аналіз), при якому, необхідно приготувати план для кожної ситуації, щоб була змога швидко використати можливості тоді, коли "майбутнє зробить свій вибір" [2]. Тобто вважається, що кожній випадковій ситуації ω можна поставити у відповідність план

x ( ω ) = агg max { ( c (ω), x) : A ( ω ) x ≤ b (ω), x ≥ 0} (7)

^x

який максимізує ефект для кожного ω.

Під записом агg max { f ( x ) : x Є Д будемо розуміти розв'язок задачі

^Х

f (x) → max, x Є Д. Однак план згідно з (7) можна обирати лише у випадку, якщо є можливість оперативної зміни планів, коли спостереження над "майбутнім" передують моменту прийняття рішення. Така ситуація не має місця, наприклад у довгостроковому плануванні, а також при розподілі площ під сільськогосподарські культури, де спочатку (перед весняними роботами) потрібно визначити шукані площі, а врожайність, звісно, стане відомою під кінець року. Тому планування за варіантами не вичерпує важливих особливостей планування при невизначеності, хоча елементи адаптивності, пристосовування характерні для багатьох випадків.

Дослідження зони невизначеності

Зоною невизначеності називається сукупність оптимальних планів залежних від випадкової ситуації ω, тобто зона невизначеності — це {x*(ω)}_ωεΩ. Вона апроксимується скінченою (але достатньо великою) кількістю оптимальних планів {x^S = x (ω)}_{S=1, N}, яку одержують за допомогою моделювання реалізацій випадкових параметрів згідно з методом статистичних випробувань Монте-Карло і чисельного розв'язку задачі (7) при ω= ω^S. Звуження апроксимації зони невизначеності для більш чіткого визначення множини, яка містить у собі шуканий план, відбувається із залученням неформальних процедур. Позначимо звужену апроксимацію зони невизначеності через { x^S}_SεS , де S — підмножина множини {1,...,N}. Остаточний вибір пошукового плану здійснюється на підставі аналізу пристосованості кожного варіанту плану до зміни умов. Кожен план x^S може коригуватись деякими спеціальними (адаптивними) технологіями, інтенсивності яких описуються вектором у, а самі способи — стовпчиками матриці D (ω). Якщо d (ω) — вектор питомих ефективностей адаптивних технологій, то при фіксованих х та ω доцільно обирати план у як розв'язок задачі

(d (ω),у) → max, D (ω)y ≤ b (ω) – A (ω), y ≥ 0 (8)

Через у(х, ω >) позначимо розв'язок задачі (8).

Розглянемо звужену апроксимацію зони невизначеності разом з планами адаптивних технологій:

x¹, y (x¹, ω¹), y (x¹, ω²),…, (x¹, ω^N)

x², y (x², ω¹), y (x², ω²),…, (x², ω^N)

x^N, y (x^N, ω¹), y (x^N, ω²),…, (x^N, ω^N)

Вибір найкращого плану з множини { xS }_SЄS здійснюється з використанням певних формальних та неформальних критеріїв. При цьому береться до уваги не тільки ефективність основного плану x^S, але й ефективність відповідної адаптації при різних ω, тобто на завершальному етапі відбувається аналіз звуженої апроксимації зони невизначеності, доповненої спектром адоптацій. Даний метод має такі особливості:

1. відбувається глибоке зондування за допомогою методу статистичних випробувань Монте-Карло всієї множини випадкових ситуацій з урахуванням імовірнісного розподілу випадкових параметрів;

2. припускається можливість коригування (адаптації) раніше обраного плану згідно з надходженням інформації про реалізації випадкових ситуацій;

3. здійснюється найбільш ефективна адаптація для кожної реалізації випадкових ситуацій.

У той же час є резерви для вдосконалення методу за рахунок формалізації вибору шуканого плану.

Принцип гарантованого виграшу. "Гра з природою"

Цей принцип полягає у виборі рішення (плану), який максимізує ефективність у найгірших умовах. Якщо Д(ω) — множина допустимих планів, залежна від випадкової ситуації ω, u (х, (ω) — функція ефективності плану x, залежна від ω, то найгіршою ситуацією ω (х) для плану х є та, при якій план х має найменшу ефективність, тобто ω (х) = агg min,{u (x, ω ) : ω Є Ω}.

План х обирається як розв'язок задачі

F (х) = u ((x, ω (x) → max, x Є Д (ω) x)) (10)

Задача (10) моделює гру особи, яка приймає рішення, з випадковою господарською ситуацією — "природою".

Іншими словами, вважається, що "природі" притаманні деякі телеологічні намагання, певна цілеспрямованість. При цьому відкидаються інші можливі значення випадкових ситуацій, можливо, набагато імовірніші.

На перший погляд, позитивна риса принципу гарантованого виграшу полягає у тому, що немає необхідності у визначенні ймовірностей. Але, насправді, в завуальованій формі ця процедура має місце і полягає у тому, що "найгіршій" ситуації приписується ймовірність 1, всім іншим — 0. Якщо ситуації не керовані іншою особою, інтереси якої не збігаються з інтересами особи, яка приймає рішення, то такий підхід не може використовуватись як основа для прийняття рішень.

Розглянемо це на простому прикладі.

Нехай розглядається питання про вибір обсягу фінансування, спрямованого на розробку нової техніки, при впровадженні якої можливий як успіх, так і невдача. Результативність використання нової техніки залежить від багатьох причин, у тому числі й від результатів пошукових досліджень, які заздалегідь точно невідомі. Позначимо через u (х) величину валового (без урахування витрат) ефекту, який утримується від обсягу фінансування х у разі успіху. З урахуванням витрат ефект складає величину u(х) - х. При невдачі в наявності будуть лише витрати. Якщо відштовхуватись від принципу гарантованого виграшу, то величина х повинна знаходитись у результаті розв'язку задачі

F(х) = min {u (x) – x, – x } → max, x ≥ 0. (11)

Очевидно, що розв'язком задачі (11) є х=0. Таким чином, застосування принципу гарантованого виграшу при наявності ризику отримання збитків у даному випадку призводить до пасивної політики, яка неприпустима в сучасних умовах.

Огляд різноманітних методів прийняття рішень можна було б продовжити, але більшість методів, які ґрунтуються на евристичних процедурах планування в умовах ризику та невизначеності, тою чи іншою мірою відображають позитивні риси та недоліки описаних методів. На наш погляд, кардинальним засобом моделювання прийняття рішень при невизначеності та ризику, який синтезує теорію очікуваної ефективності та активні методи планування, є застосування спеціальних моделей – стохастичних.

2. Задача 1

Компанія Milford визначає умови ризику в термінах економічного росту. Так наступ стану сильного економічного росту вона оцінює з ймовірністю: сильною – 0,3; середньою – 0,5 та слабкою – 0,2. Грошові надходження від інвестицій з якими прогнозується можливий економічний ріст, передбачаються згідно з даними таблиці:

Розв'язок

М (А)=(5,2*0,3)+(2,2*0,5)+(0,2*0,2)=1,56+1,1+0,04=2,7

М (В)=(2,9*0,3)+(2,1*0,5)+(1,6*0,2)=0,87+1,05+0,32=2,24

М (С)=(3,4*0,3)+(2,6*0,5)+(0,5*0,2)=1,02+1,3+0,1=2,42

Мірою ризику кожного проекту є середнє квадратичне відхилення: ξ√D;

D=(х²)-[М(х)]²

М (А²) =(5,2²*0,3)+(2,2²*0,5)+(0,2²*0,2)=8,11+2,42+0,01=10,54

D (A)=10,54 - 2,7² = 10,54 - 7,29 = 3,25

М (В²) = (2,9²*0,3) + (2,1²*0,5) + (1,6²*0,2) =2,52 + 2,21 + 0,51 = 5,24

D (B) = 5,24 – 2,24² = 5,24 – 5,02 = 0,22

М (С²) =(3,4²*0,3)+(2,6²*0,5)+(0,5²*0,2)= 3,47 + 3,38 + 0,05 = 6,9

D (C) = 6,9 – 2,42² = 6,9 – 5,86= 1,04

ξ√A= √ 3,25 = 1,80

ξ√B= √ 0,22 = 0,47

ξ√C= √ 1,04 = 1,02

Висновок: як видно з розрахунку найменш ризикований є проект В. Для цього проекту характерний найменший прибуток. З точки зору найменшого ризику необхідно обрати даний проект.

2. Задача 2

Розрахувати значення середньоквадратичного відхилення для двох інвестиційних проектів, згідно початкових даних, які наведені в таблиці, якщо D_А, D_В – розрахунковий дохід інвестиційного проекту А і Б, відповідно в у.о. Р_А, Р_В – значення імовірності для інвестиційних проектів А і В.

Розв'язок

М(А) = (1200*0,7)+(670*0,15)+(325*0,15)= 840+100,5 + 48,8 = 989,3

М(В) =(1432*0,20)+(740*0,70)+(420*0,10)= 286,4 + 518 + 42 = 846,4

D (A) = (M_A²)-M (A)²

M_A² = 1200²*0,7 + 670²*0,15 + 325² * 0,15 = 1 008 000 + 67 335 + 15 843,75 = =1 091 178,7

M_B² = 1432² * 0,2 + 740² * 0,70 + 420²* 0,10 = 410 124,8 + 383 320 + 17 640 = =811 084,8

D (A) =1 091 178,7-989,3² = 1 091 178,7-978 714,49=112 464,3

D (B) = 811 084,8 * 846,4² = 811 084,8 – 716 392,96 = 94 691,84

ξ√A= √112 464,3= 335,35

ξ√B= √94 691,84=307,72

Висновок: як видно з розрахунку міра ризику проекту А – 335,35 одиниць, а проекту В – 307,72 одиниці. Проект В менш ризикованіший ніж проект А.

Література

1. Вітлінський В. В. «Економічний ризик: ігрові моделі» К.: КНЕУ, 2002. – 446с.

2. Ястримський О. І. «Моделювання економічного ризику» К.: Либідь, 1992. – 176 стор.