Завдання 1

У наведеній далі задачі виконати такі дії:

1.1. записати математичні моделі прямої та двоїстої задач;

1.2. симплекс-методом визначити оптимальні плани прямої та двоїстої задач, подати їх економічний аналіз;

1.3. визначити статус ресурсів, що використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції;

1.4. обчислити інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів;

1.5. розрахувати інтервали можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції.

Підприємство виготовляє чотири види продукції, використовуючи для цього три види ресурсів. Норми витрати усіх ресурсів на одиницю продукції та запаси ресурсів наведено в таблиці. Відома ціна одиниці продукції кожного виду. Визначити план виробництва продукції, що забезпечує підприємству найбільший дохід.

Розв'язання:

1.1. Математичні моделі прямої та двоїстої задач мають такий вигляд:

де – обсяг виробництва продукції го виду ( );

де – оцінка одиниці го виду ресурсу ( ).

Розв’яжемо пряму задачу симплекс-методом:

Остання симплекс-таблиця, що відповідає оптимальному плану поставленої задачі, має вигляд:

З наведеної симплекс-таблиці маємо:

;

min F = 80*7 +250*0,6 = 710 = max Z.

Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво лише двох видів продукції А і В у кількості відповідно 50 та 80 од. Випуск продукції А та С не передбачається (х₁ = х₃ = 0). Додаткові змінні х₅, х₆, х₇ характеризують залишок (невикористану частину) ресурсів відповідно 1, 2 та 3. Оскільки х₅ = 150, то перший ресурс використовується у процесі виробництва не повністю, а другий та третій ресурси – повністю (х₆ = х₇ =0). За такого оптимального виробництва продукції та використання ресурсів підприємство отримує найбільший дохід у розмірі 710 ум. од.

План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві. Так, y₂ = 7 та y₃ = 0,6 відмінні від нуля, а ресурси 2 та 3 використовуються повністю. Двоїста оцінка y₁ = 0 і відповідний вид ресурсу не повністю використовується при оптимальному плані виробництва. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіх ресурсів, що використовуються на підприємстві: min F = 710 ум. од.

Статус ресурсів прямої задачі можна визначити за допомогою додаткових змінних прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо відмінна від нуля – ресурс недефіцитний. В даному випадку другий та третій ресурси є дефіцитними, а перший ресурс не є дефіцитним.

Якщо запас другого дефіцитного ресурсу збільшити на 1 ум. од. , то цільова функція max Z збільшиться за інших однакових умов на y₂ = 0,1 ум. од. і становитиме max Z = 710,1 ум. од. Елементи стовпчика «х₆ » останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці y₂ дають інформацію про зміни в оптимальному плані. У новому оптимальному плані значення змінної х₄ збільшиться на 1, значення х₅ збільшиться на 1,3, а значення х₂ зменшиться на 2,3. Нові оптимальні значення змінних будуть такими: . Отже, збільшення запасу другого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов приводить до зростання випуску продукції Д та зменшення випуску продукції В, а обсяг використання першого ресурсу збільшиться. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства буде max Z = 710,1, тобто зросте на y₂ = 0,1.

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 3 за інших однакових умов збільшиться на одиницю . Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «х₇ » останньої симплекс-таблиці, можна записати новий оптимальний план: , max Z = 710 + 0,6 = 710,6 ум. од.

Отже, дохід підприємства збільшиться на 0,6 ум. од. за рахунок збільшення виробництва продукції В на 0,20 од.

Розрахуємо інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, в межах яких двоїсті оцінки залишаються на рівні оптимальних значень.

Приріст (зміну) запасу ресурсу 2 позначимо . Тоді новий обсяг ресурсу становитиме і новий оптимальний план

Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, – це умова невід’ємності, тобто

.

Це означає, що коли запас ресурсу 2 збільшиться на 150 од. або зменшиться на 80 од., то оптимальною двоїстою оцінкою ресурсу 2 залишиться y₂ = 7. Отже, запас ресурсу 2 може змінюватися у межах