183435 (Выборочная ковариация)

Министерство Образования Российской Федерации

Алтайский Государственный Университет

Экономический Факультет

Заочное отделение

Кафедра «Информационные системы в экономике»

Контрольная работа по предмету:

«Эконометрика»

Выполнил студент

3 курса 211 группы

Неклюдов А.А.

Барнаул 2003 г.

Выборочная ковариация

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Данное понятие может быть продемонстрировано на простом примере. Просматривая табличные данные, помещенные в приложении книги: «Введение в эконометрику», Кристофера Доугерти можно увидеть, что в период между 1963 и 1972 гг. потребительский спрос на бензин в США устойчиво повышался. Эта тенденция прекратилась в 1973 г., а затем последовали нерегулярные колебания спроса с незначительным его падением в целом. В табл. 1.1 приведены данные о потребительском спросе и реальных ценах после нефтяного кризиса. (Реальная цена вычисляется путем деления индекса номинальной цены на бензин, на общий индекс потребительских цен и умножением результата на 100, из таблицы дефляторов цен для личных потребительских расходов(1972 = 100%)). Индексы из таблицы дефляторов основаны на данных 1972 г.; таким образом, индекс реальной цены в таблице 1.1 показывает повышение цены бензина относительно общей инфляции начиная с 1972 г.

Таблица 1.1

Потребительские расходы на бензин и его реальная цена в США
Год	Расходы (млрд. долл., цены 1972 г.)	Индекс реальных цен (1972=100)
1973	26,2	103,5
1974	24,8	127,0
1975	25,6	126,0
1976	26,8	124,8
1977	27,7	124,7
1978	28,3	121,6
1979	27,4	179,7
1980	25,1	188,8
1981	25,2	193,6
1982	25,6	173,9

Можно видеть некоторую отрицательную связь между потребительским спросом на бензин и его реальной ценой. Показатель выборочной ковариации позволяет выразить данную связь единичным числом. Для его вычисления сначала необходимо найти средние значения цены и спроса на бензин. Обозначив цену через p и спрос – через y, находим средние значения p и y, затем для каждого вычисляем отклонение величин p и y от средних и перемножаем их. Проделаем это для всех годов выборки и возьмем среднюю величину, она и будет выборочной ковариацией (Таблица 1.2).

Таблица 1.2
Наблюдение	Цена p	Спрос y	_ (p-p)	_ (y-y)	_ _ (p-p)(y-y)
1973	103,5	26,2	-39,86	-0,07	2,79
1974	127,0	24,8	-16,36	-1,47	24,05
1975	126,0	25,6	-17,36	-0,67	11,63
1976	124,8	26,8	-18,56	0,53	-9,84
1977	124,7	27,7	-18,66	1,43	-26,68
1978	121,6	28,3	-21,76	2,03	-44,17
1979	149,7	27,4	6,34	1,13	7,16
1980	188,8	25,1	45,44	-1,17	-53,16
1981	193,6	25,2	50,24	-1,07	-53,76
1982	173,9	25,6	30,54	-0,67	-20,46
Сумма:	1433,6	262,7			-162,44
Среднее:	143,36	26,27			-16,24

Итак, при наличии n наблюдений двух переменных (x и y) выборочная ковариация задается формулой:

Cov(x,y) = 1/n*S(x_i-x)(y_i-y) = 1/n{(x_i-x)(y_i-y)+…+(x_n-x)(y_n-y)}

Следует отметить, что в данном примере ковариация отрицательна. Так это и должно быть. Отрицательная связь в данном примере выражается отрицательной ковариацией, а положительная связь – положительной ковариацией.

Так, например, в наблюдении за 1979 г. (p-p_средн.) = 6,34, (y-y_средн.) = 1,13, а поэтому и их произведение положительно и равно 7,16, в этом наблюдении значения реальной цены и спроса выше соответствующих средних значений следовательно, наблюдение дает положительный вклад в ковариацию.

В наблюдении за 1978 г. реальная цена ниже средней, а спрос выше среднего, поэтому (p-p_средн.) отрицательно, (y-y_средн.) положительно, их произведение отрицательно, и наблюдение вносит отрицательный вклад в ковариацию.

В наблюдении за 1974 г., как реальная цена, так и спрос, ниже своих средних значений, таким образом, (p-p_средн.) и (y-y_средн.) оба являются отрицательными, а их произведение положительно следовательно, наблюдение вносит положительный вклад в ковариацию.

И, наконец, в наблюдении за 1981 г. цена выше средней, а спрос ниже среднего. Таким образом (p-p_средн.) положительно, (y-y_средн.) отрицательно, поэтому (p-p_средн.)(y-y_средн.) отрицательно, и в ковариацию, соответственно, вносится отрицательный вклад.

Несколько основных правил расчета ковариации.

• Правило 1

Если y = v+w, то Cov(x,y) = Cov(x,v)+Cov(x,w).

• Правило 2

Если y = az, где a – константа, то Cov(x,y) = aCov(x,z)

• Правило 3

Если y = a, где a – константа, то Cov(x,y) = 0

Демонстрация правила 1

Возьмем данные по шести семьям (домохозяйствам), приведенные в таблице 1.3: общий годовой доход (x); расходы на питание и одежду (y); расходы на питание (v) и расходы на одежду (w). Естественно, y равняется сумме v и w. Указанную в таблице величину z рассмотрим для демонстрации правила 2.

Таблица 1.3

Семья	Доход семьи (x)	Расходы на питание и одежду (y)	Расходы на питание (v)	Расходы на одежду (w)	Вторая выборка: расходы семьи на питание и одежду (z)
1	3000	1100	850	250	2200
2	2500	850	700	150	1700
3	4000	1200	950	250	2400
4	6000	1600	1150	450	3200
5	3300	1000	800	200	2000
6	4500	1300	950	350	2600
Сумма:	23300	7050	5400	1650	14100
Среднее:	3883	1175	900	275	2350

В таблице 1.4 величины (x-x), (y-y), (v-v) и (w-w) вычисляются для каждой семьи. Отсюда получаем (x-x_средн.)(y-y_средн.), (x-x_средн.)(v-v_средн.) и (x-x_средн.)(w-w_средн.) для каждой семьи. Cov(x,y) получается как среднее из величин (x-x_средн.)(y-y_средн.) и равняется 266250. Cov(x,v) равна 157500 и Cov(x,w) = 108750. Следовательно, Cov(x,y) является суммой Cov(x,v) и Cov(x,w).

Таблица 1.4

Семья	_ x-x	_ y-y	_ _ (x-x)(y-y)	_ (v-v)	_ _ (x-x)(v-v)	_ (w-w)	_ _ (x-x)(w-w)
1	-883	-75	66250	-50	44167	-25	22083
2	-1383	-325	449583	-200	276667	-125	172917
3	117	25	2917	50	5833	-25	-2917
4	2117	425	899583	200	529167	175	370416
5	-583	-175	102083	-100	58333	-75	43750
6	617	125	77083	50	30833	75	46250
Сумма:			1597500		945000		652500
Среднее:			266250		157500		108750

Демонстрация правила 2