180282 (Экономическое моделирование составления портфеля инвестиций), страница 5

Теорема 1. Пусть с — некоторая константа. Тогда обозначение R - с

относится к следующему вектору-столбцу:

Пусть вектор z является решением системы линейных уравнений R - с = Sz. Тогда из этого решения можно получить портфель х на огибающей реализуемого множества:

Теорема 2. Согласно этой теореме, впервые доказанной Блэком (В1аск, 1972), зная любые два портфеля на огибающей, можно восстановить всю огибающую. Если заданы два портфеля, х={ х₁ ,..., х_n} и у={y₁ , ..., у₂}, то все портфели на огибающей являются выпуклыми линейными комбинациями х и у. Это означает, что для любой заданной константы а приведенный далее портфель лежит на огибающей эффективной границы:

Приложение Г

Описание построения графика эффективной границы

Каждая ячейка вектора-столбца под заголовком «Средне минус константа» содержит средний доход актива за вычетом константы с (в нашем случае с = 0,0025).

Для получения значений z (ячейки В174-В183) необходимо выделить область B174:B183, ввести формулу “=МУМНОЖ(МОБР(А160:J169);L160:L169)” и нажать одновременно Ctrl+Shift+Enter.

В ячейку С174 вписывается формула “=B174/СУММ($B$174:$B$183)”, затем эта формула необходимо скопировать в ячейки С175-С183. Автоматически поменяется значение В174 на соответствующее строке В175-В183.

Аналогично находятся значения в ячейки Е174-Е183. Необходимо только в выделенную область (Е174:Е183) ввести формулу “=МУМНОЖ(МОБР(A160:J169);M160:M169)” и нажать одновременно Ctrl+Shift+Enter.

В ячейки F174:F183 вводится формула “=E174/СУММ($E$174:$E$183)”.

Далее найдём транспонированные векторы х и у. Они получены с использованием функции ТРАНСП. Для этого выделяем область В188:К188 и вводим в нее формулу “=ТРАНСП(С174:С183)”, затем нажимаем Ctrl+Shift+Enter – получили транспонированный вектор-строку х.

Аналогично находим транспонированный вектор-строку у, выделив область В191:К191 и введя в неё формулу “=ТРАНСП(F174:F183)”.

Теперь средние, дисперсии и ковариации вычисляются таким образом:

Сред (х) — по формуле МУМНОЖ (трансп.х, средние);

Дисп(x) — по формуле МУМНОЖ(МУМНОЖ(трансп.х, ковар.матр.), х);

Сигма(х) — по формуле КОРЕНЬ (дисперсия);

Ковар(x,у) — по формуле МУМНОЖ(МУМНОЖ(трансп.х, ковар.матр.), у);

Корр(x, у) — по формуле КОВАР (х,у) / (сигма_х * сигма_у)

Согласно теореме 2 [Приложение Б], огибающую реализуемого множества (включающую в себя эффективную границу) можно получить, составив выпуклую линейную комбинацию двух портфелей. Пусть р -портфель, в котором доля средств а вложена в портфель х, а доля (1 —а) — в портфель у. Тогда среднее значение и дисперсия доходов от портфеля р составят:

В ячейку В207 вводим формулу “=B206*C193+(1-B206)*F193”

В ячейку В208 вводим формулу “=КОРЕНЬ(B206^2*C194+(1-B206)^2*F194+2*B206*(1-B206)*C197)”

На основании этого расчета можно построить следующую таблицу данных

Для построения таблицы данных для эффективного графика необходимо выделить область таблицы D208:F245, выбрать в меню Данные команду Таблица подстановки. Откроется диалоговое окно, в котором необходимо указать подстановку значений по строкам в ячейку $B$206.

Затем в столбцах Е209:Е245 и F209:F245 строится график эффективной границы.

13