176279 (Дисперсійний аналіз та побудова статистичних графіків)

Дисперсійний аналіз та побудова статистичних графіків

Дисперсійний аналіз

Характеристики варіації

В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тим більш надійні й типові характеристики центра розподілу, передусім середня величина. Вимірювання ступеня коливання ознаки, її варіації — невід'ємна складова аналізу закономірностей розподілу. Міри варіації широко використовуються у практичній діяльності: для оцінювання диференціації домашніх господарств за рівнем доходу, фінансового ризику інвестування, ритмічності роботи підприємств, сталості врожайності сільськогосподарських культур тощо.

На основі характеристик варіації оцінюється інтенсивність структурних зрушень, щільність взаємозв'язків соціально-економічних явищ, точність результатів вибіркового обстеження.

Для вимірювання та оцінювання варіації використовуються абсолютні та відносні характеристики. До абсолютних належать: варіаційний розмах, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсії; відносні характеристики подаються низкою коефіцієнтів варіації, локалізації, концентрації.

Узагальнюючою характеристикою варіації є середнє відхилення:

а) лінійне

,

б) квадратичне, або стандартне

;

в) дисперсія (середній квадрат відхилень)

.

Види та взаємозв'язок дисперсій

Дисперсія посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ. На відміну від інших характеристик варіації завдяки своїм математичним властивостям вона є невіддільним і важливим елементом інших статистичних методів, зокрема дисперсійного аналізу.

Для ознак метричної шкали дисперсія — це середній квадра відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої:

.

Як і будь-яка середня, дисперсія має певні математичні властивості. Сформулюємо найважливіші з них.

1. Якщо всі значення варіант xj зменшити на сталу величину А, то дисперсія не зміниться:

.

2. Якщо всі значення варіант xj змінити в А раз, то дисперсія зміниться в А2 раз:

.

3. Якщо частоти замінити частками, дисперсія не зміниться. Нескладними алгебраїчними перетвореннями можна довести,

що дисперсія — це різниця квадратів . Якщо

,

то, замінивши і поділивши всі складові на п, дістанемо:

,

де – квадрат середньої величини; – середній квадрат значень ознаки.

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток: , де d1 — частка елементів сукупності, яким властива ознака, d0 — частка решти елементів . Застосуємо основну формулу дисперсії до цих характеристик структури:

.

Якщо, скажімо, у збиральному цеху частка висококваліфікованих робітників становить d1= 0,2, то дисперсія частки

σ2=0,2 (1-0,2)=0,16.

Дисперсія альтернативної ознаки широко використовується при проектуванні вибіркових обстежень, обробці даних соціологічних опитувань, статистичному контролі якості продукції тощо. За відсутності первинних даних про розподіл сукупності припускають, що d1=d0=0,5 і використовують максимальне значення

дисперсії σ2 =0,5·0,5=0,25.

Якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою х, то для будь-якої іншої ознаки у можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності, так і в кожній групі. Центром розподілу сукупності в цілому є загальна середня , центром розподілу в j-й групі — групова середня . Відхилення індивідуальних значень ознаки у від загальної середньої можна подати як дві складові: . Узагальнюючими характеристиками цих відхилень є дисперсії: загальна, групова та міжгрупова.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у навколо загальної середньої:

.

Групова дисперсія характеризує варіацію відносно групової середньої:

.

Оскільки в групи об'єднуються певною мірою схожі елементи сукупності, то варіація в групах, як правило, менша, ніж у цілому по сукупності. Якщо причинні комплекси, що формують варіацію в різних групах, неоднакові, то й групові дисперсії різняться між собою.

Узагальнюючою мірою внутрішньогрупової варіації є середня з групових дисперсій:

.

Різними є й групові середні . Мірою варіації їх навколо загальної середньої є міжгрупова дисперсія

.

Отже, загальна дисперсія складається з двох частин. Перша характеризує внутрішньогрупову, друга — міжгрупову варіацію.

Взаємозв'язок дисперсій називається правилом розкладання (декомпозиції) варіації:

.

40 Види статистичних графіків і способи їх побудови

Статистичні графіки і правила їх побудови

Внаслідок опрацювання даних різних видів спостережень дістають багато цифрового матеріалу, який розмішують у таблицях. Застосування табличного методу суттєво полегшує орієнтування в зібраному та згрупованому матеріалі. Проте здебільшого статистичні дослідження не обмежуються лише таблицями.

Таблична форма викладу кількісного матеріалу не завжди дає змогу достатньо наочно і чітко відобразити загальну картину стану чи розвитку якого-небудь явища, розкрити закономірності зв'язку статистичних показників або їхнього розподілу. А тому для розв'язання цих та інших завдань поряд із статистичними таблицями широко застосовують графічний спосіб зображення статистичних величин.

Статистичний графік — це спосіб наочного зображення й узагальнення статистичних даних про соціально-економічні явища процеси за допомогою геометричних образів, малюнків або схематичних географічних карт.

Графіки застосовують здебільшого для характеристики (порівняння) розвитку показників у часі й просторі, вивчення структури та структурних зрушень, контролю за виконанням планових завдань, характеристики розміщення і поширення явищ у просторі, а також для аналізу зв'язків і залежностей між різними показниками або між значеннями варіаційної ознаки і частотами чи частками. Для побудови статистичного графіка потрібно знати, з якою метою складається графік, вивчити вихідний матеріал та оволодіти методикою графічних зображень.

Основні елементи графіка: поле графіка, графічні образи, масштабні орієнтири та експлікація графіка. Кожний елемент має своє призначення і виконує відповідну роль у побудові й інтерпретації

Поле графіка — це простір, на якому розташовуються геометричні та інші знаки, тобто графічне зображення. Цей простір має певний розмір і обмежується або аркушем чистого паперу, або географічною чи контурною картою.

Розмір поля залежить від призначення графіка. В статистичних дослідженнях найчастіше застосовують графіки у вигляді прямокутників з нерівними сторонами по вертикалі і горизонталі, а також і графіки у вигляді квадратів. Співвідношення нерівних сторін полів графіка звичайно беруть від 1 : 1,33 до 1 : 1,50, якщо вертикальну сторону прийняти за 1.

Просторові орієнтири задають у вигляді прямокутної системи координат, тобто координатної сітки. В картограмах засобами просторової орієнтації є географічні карти.

Графічний образ — це сукупність різноманітних геометричних та графічних знаків, за допомогою яких відображують статистичні величини. У статистичних графіках використовують такі геометричні знаки, як крапки, відрізки прямих ліній, квадрати, прямокутники, кола, півкола, сектори, а також негеометричні знаки-символи у вигляді силуетів або малюнків. Це і є основою графіка, його мовою.

Масштабні орієнтири статистичних графіків — це масштаб, масштабні шкали і масштабні знаки, які використовуються для визначення розмірів геометричних та інших графічних знаків.

Масштаб — умовна міра переведення числового значення статистичного явища в графічне і навпаки. Тобто це довжина відрізка шкали, прийнята за числову одиницю. Наприклад, 1 см на графіку відповідає 1000 одиницям виробленої продукції, або 1 см2 дорівнює 100 км2 на досліджуваній території.

При побудові графіка масштаб має бути таким, аби ясно і чітко проявлялися відмінності зображення статистичних величин і можна було їх легко порівнювати між собою. Найпоширенішою для статистичних графіків є система прямокутних координат. Найкраще співвідношення масштабу по осі абсцис і ординат становить 1,41 : 1, відоме під назвою «золотого перетину». На осі ординат графіка має бути нульова точка. У випадках, коли мінімальне значення ознаки набагато вище нуля, доцільно робити розрив вертикальної шкали.

Масштабна шкала — це лінія, поділена на відрізки точками відповідно до прийнятого масштабу. Носієм шкали звичайно є пряма або крива лінії. Залежно від цього масштабні шкали поділяють на: прямолінійні і кругові.

Довжину відрізків між сусідніми поділками шкали називають графічним інтервалом, а різницю між числовими значеннями цих поділок — числовим інтервалом. Обидва інтервали можуть бути рівними і нерівними.

Шкалу, в якій рівним графічним інтервалам відповідають рівні числові інтервали, називають рівномірною, або арифметичною.

Якщо рівним графічним інтервалам відповідають нерівні числові інтервали, шкалу називають нерівномірною, або функціональною. Для побудови статистичних графіків з функціональною шкалою найчастіше застосовують логарифмічну функцію

Масштабні знаки — це еталони, які зображають на графіку статистичні величини у вигляді квадратів, кругів, силуетів тощо. Ними користуються для визначення розмірів і співвідношення статистичних величин, зображених на графіку, тобто для порівняння графічних знаків зі знаком-еталоном.

Експлікація графіка — це пояснення, що розкривають його зміст і основні елементи: заголовок (назва) графіка, одиниці виміру, умовні позначення.

Назва графіка має зрозуміло, чітко і стисло розкривати його основний зміст і відповідати на три запитання — «що?», «коли?», «де?».

На кожній масштабній шкалі графіка вказують відповідні, статистичні величини та одиниці їх вимірювання.

Пояснювальні написи до окремих елементів графічного образу можуть лежати в полі графіка або виноситись як умовні позначення за його межі.

Класифікація статистичних графіків дає можливість визначити їхні загальні риси, аналітичні можливості та метод побудови. Графіки класифікуються за функціонально-цільовим призначенням, видами, формами і тинами основних елементів:

• за загальним призначенням:

аналітичні, ілюстративні та інформаційні;

• за функціонально-цільовим призначенням:

графіки групувань і рядів розподілу, динаміки, взаємозв'язку і порівняння;

• за формою графічних образів:

крапкові, лінійні, площинні, просторові і фігурні;

• за типом системи координат:

графіки у прямокутній і полярній системі координат;

• за масштабними шкалами:

графіки з рівномірними, функціональними і мішаними шкалами.

Класифікація графіків за виглядом їх поля дає змогу виділити дві великі групи графіків: діаграми і статистичні карти.

З огляду на розв'язувані завдання розрізняють статистичні графіки:

1) порівняння статистичних величин;

2) структури і структурних зрушень;

3) зображення динаміки статистичних показників;

4) контролю виконання плану;