K1-V1 (Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения)

З адание K-1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.

Вариант № 1.

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t₁(c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Лист

K-1

Решение.

И сходные данные в см и с:

x = -2t² + 3; y = -5t; (1)

t₁ = 0,5

Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения. Тогда

25x + 2y² = 75 (2)

Это уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

V_x = x’ = -4t см/с; V_y = y’ = -5 см/с.

Модуль скорости точки

. (3)

Аналогично проекции ускорения точки

a_x = x’’ = -4 см/с²; a_y = y’’ = 0.

Модуль ускорения точки

см/с².

Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости (3)

При t = 0,5 c

x = -20,5² + 3 = 2,5 см, y = -50.5 = -2,5 см.

V_x = -40,5 =-2 см/с, V_y = -5 см/с, V = 5,38 см/с.

a_x = -4 см/с², a_y = 0, a = 4 см/с²

см/с²

Лист

K-1

Модуль касательного ускорения

a_ = 1,487 см/с²

Знак “+” при dV/dt показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления совпадают.

Нормальное ускорение точки:

см/с².

Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 0,5 с находится точка М:

см.

Пользуясь уравнением (2), строим траекторию (рис. 1) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим , причем он направлен по касательной к траектории точки. Вектор находим как по составляющим , так и по .

Р
ис. 1

Лист

K-1