160756 (Замена платежей и их консолидация)

1. Замена платежей и их консолидация

На практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. В таких ситуациях неизбежно возникает вопрос о принципе, на котором должно базироваться изменение контракта. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.

Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единому показателю.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

Эквивалентная процентная ставка – это ставка, которая для рассматриваемой финансовой операции даст точно такой же денежный результат (наращенную сумму), что и применяемая в этой операции ставка.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i = (1 + j/m)^m - 1

j = m[(1 + i)^1/m - 1]

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

Пример. Каковы будут эквивалентные номинальные процентные ставки с полугодовым начислением процентов и ежемесячным начислением процентов, если соответствующая им эффективная ставка должна быть равна 25%?

Решение:

Находим номинальную ставку для полугодового начисления процентов:

j = m[(1 + i)^1/m - 1] = 2[(1 + 0,25)^1/2 - 1] = 0,23607

Находим номинальную ставку для ежемесячного начисления процентов:

j = m[(1 + i)^1/m - 1] = 4[(1 + 0,25)^1/12 - 1] = 0,22523

Таким образом, номинальные ставки 23,61% с полугодовым начислением процентов и 22, 52% с ежемесячным начислением процентов являются эквивалентными.

При выводе равенств, связывающих эквивалентные ставки, приравниваются друг к другу множители наращения, что дает возможность использовать формулы эквивалентности простых и сложных ставок:

простая процентная ставка

i = [(1 + j/m)^mn - 1]/n

сложная процентная ставка

Пример. Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение:

Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

i = [(1 + j/m)^mn - 1]/n = [(1 + 0,2/2)^{2 • 4} - 1]/4 = 0,2859

Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов.

Находим эквивалентную сложную ставку процентов для простой ставки:

Таким образом, процентная ставка 18,64% годовых с полугодовым начислением процентов ниже 20% годовых с полугодовым начислением процентов, то первый вариант выгоднее.

В практической деятельности часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенного контракта – объединение нескольких платежей или замене единовременного платежа рядом последовательных платежей. Естественно, что в таких условиях ни один из участников финансовой операции не должен терпеть убыток, вызванный изменением финансовых условий. Решение подобных задач сводится к построению уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенная к какому-то одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенному к тому же моменту времени.

Для краткосрочных контрактов консолидация осуществляется на основе простых ставок. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству:

FV_o = ΣFV_j • (1 + i •╥t_j),

где t_j – временной интервал между сроками, t_j = n₀ - n_j.

Пример. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых.

Решение:

Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа (дата выдачи и дата погашения считается за один день):

t₁= 11(апрель) + 31(май) - 1= 41 день;

для второго платежа и консолидированного платежа:

t² = 22(май) - 1 = 21 день.

Отсюда сумма консолидированного платежа будет равна:

FV_oб. = FV₁ • (1 + t₁/T • i) + FV₂ • (1 + t₂/T • i) =

= 20'000 • (1 + 41/360 • 0,1) + 30'000 • (1 + 21/360 • 0,1) = 50'402,78 руб.

Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50'402,78 руб.

Конечно, существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом.

Если платеж FV₁ со сроком n₁ надо заменить платежом FV_об. со сроком n_об (n_об > n₁) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид:

FV_об. = FV₁ • (1 + i)ⁿ_об.^-n₁

Пример. Предлагается платеж в 45 тыс. руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из процентной ставки 12 % годовых.

Решение:

Поскольку n_об. > n₁, то платеж составит:

FV_об. = FV₁ (1 + i)ⁿ_об.^-n₁ = 45'000 (1 + 0,12)^5-3 = 56'448 руб.

Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56'448 руб.

Таким образом, операции по консолидированию долга - преобразование краткосрочной задолженности с фиксированной ставкой процента в долгосрочную задолженность с фиксированной ставкой процента (консолидированный долг), консолидированная задолженность погашается примерно равными годовыми долями в течение п лет.

2. Расчетные задания 9, 19, 29, 39, 49

Задание 9

Под какую процентную ставку необходимо поместить в банк 750 грн, чтобы через 3 года при условии ежегодного компаундирования иметь на счету 1000 грн?

Решение.

Наращенная сумма определяется по формуле:

(1)

где FV – будущая стоимость инвестированного капитала, грн.;

PV –стоимость инвестированного капитала, грн.;

r – процентная ставка;

n – период начисления, год;

r = = 0,10

Таким образом, необходимо поместить в банк 750 грн на 3 года при условии ежегодного компаундирования под 10%, чтобы иметь на счету 1000 грн по окончанию срока.

Задание 19

Предприятие продало товар на условиях потребительского кредита с оформлением простого векселя. Номинальная стоимость векселя 150 тыс. грн. срок вескеля – 60 дней, ставка процента за предоставленный кредит – 15 % годовых.

Через 45 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке. Есть две возможности учета векселя:

1. банк «А» предлагает дисконтную ставку 20 %, способ 365/360;

2. банк «Б» предлагает дисконтную ставку 25 %, способ 365/365.

Рассчитать суммы, которые получит предприятие и банк в обоих случаях.

Будущая стоимость векселя на момент его погашения по простой ставке:

Для расчета дисконта используется учетная ставка:

D = FV - PV = FV • n • d = FV • t/T • d ,

где n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.

Отсюда:

PV = FV - FV • n • d = FV • (1 - n • d),

где (1 - n • d) – дисконтный множитель.

Стоимость векселя на момент его погашения по простой учетной ставке:

РV = 150 (1 – 0,15 ) = 146,25 тыс. грн

Следовательно, предъявитель векселя получит сумму 146,25 тыс грн., а сумма дисконта в размере 3,75 тыс грн..

Рассчитаем стоимость векселя, если предприятие учтет его в банке:

PV₂ = PV₁ • (1 + n₁ • i ) • (1 - n₂ • d ),

где PV₁ – первоначальная сумма долга;

PV₂ – сумма, получаемая при учете обязательства;

n₁ – общий срок платежного обязательства;

n₂ – срок от момента учета до погашения.

Банк «А»:

150 = 147,2945 тыс грн

D =150 – 147,2945 = 2,7055 тыс грн.

Следовательно, сумма, полученная предприятием при учете данного обязательства в банке «А» составит 147294,5 грн, а банк получит 2705,5 грн.

Банк «Б»:

150 = 147,3822 тыс грн

D = 150-147,3822 = 2,6178 тыс грн.

Следовательно, сумма, полученная предприятием при учете данного обязательства в банке «Б»составит 147382,2 грн, а банк получит 2617,8 грн.

Задание 29

Рассматриваются три варианта (А, Б, В) размещения средств на депозитном счете банка.

По варианту А начисление процентов предусматривается осуществлять раз в год по ставке 30%, по варианту Б – ежемесячно по ставке 24% годовых, по варианту В – ежеквартально по ставке 28 % годовых.

Необходимо определить эффективную годовую ставку по каждому варианту и на основании этого выбрать наиболее выгодный вариант инвестирования средств.

Решение.

Используем формулу начисления несколько раз в год

где – количество начислений в году, раз.

По варианту А начисление процентов раз в год по ставке 30%:

= ((1+0,3)¹ – 1) = 0,3

, по варианту Б – ежемесячно по ставке 24% годовых

= ((1+

)¹² – 1) = 0,268

по варианту В – ежеквартально по ставке 28 % годовых

= ((1+

)⁴ – 1) = 0,311

По варианту «А» будет начислено 30%, по варианту «Б» – ежемесячно по ставке – эффективная годовая ставка составит 26,8 % годовых, а по варианту «В» – ежеквартально – 31,1% годовых, следовательно, наиболее выгодный вариант инвестирования средств «В», т.к. эффективная годовая ставка и наращенная сумма будут в этом варианте наибольшими.

Задание 39

На взнос в 30 тыс грн ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 40%. Оценить сумму взноса через 1,5 года с позиции покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции 2% в месяц. Какой должна быть величина прибавленной процентной ставки? Как изменится ситуация, если темп инфляции составит 4% в месяц?

Решение.

Наращенная сумма с учетом инфляции определяется по формуле:

J – индекс инфляции: