151006 (Теплофизический расчет шара)

Теплофизический расчет шара

Введение

Основной целью данного курсового проекта было: найти решение для задачи тепломассопереноса, с использованием различных математических методов. Для решения задачи использовался пакет MathCAD . Для определения эффективности и точности решения поставленной задачи, полученное решение анализируется и определяется оптимальный метод нахождения решения задачи.

1. Постановка задачи

Дан шар 2R, который находится в тепловом равновесии с окружающей средой, т.е. имеет температуру, равную температуре окружающей среды T₀. В начальный момент времени среда нагревается с постоянной скоростью b (град/сек), т.е. температура среды есть линейная функция времени T_с(t ) = T₀+bt . Теплообмен между поверхностями пластины и окружающей среды происходит по закону Ньютона. Требуется найти распределение температуры по толщине шара в любой момент времени, а также удельный расход тепла.

Также заданы начальные и граничные условия, которые описываются как:

T(r,0) = T₀ = const,

Дифференциальное уравнение теплопроводности для шара может быть записано как:

2. Решение задачи

Решение задачи было получено для двух материалов: сталь и резина. Основные теплофизические характеристики веществ были сведены в таблицу (см. табл.1)

Таблица 1

Первым шагом в решении задачи было нахождение корней характеристического уравнения:

На основе полученных значений корней характеристического уравнения, для двух материалов построена таблица (табл.2).

Таблица 2

Найдя корни характеристического уравнения, можно найти безразмерную температуру и температуру тела в любой точке в любой момент времени:

Так как в начальный момент времени, шар только начинает прогреваться, то приведенная выше формула дает большие погрешности. Для уменьшения погрешности используют формулу для нахождения безразмерной температуры для малых значений Фурье:

Расчетные формулы имеют следующий вид:

Определяем температуру на поверхности и в центре шара:

Рис. 1. Зависимость между Θ и Fo для поверхности (1) и центра (2) шара (сталь).

Рис. 2. Зависимость между Θ и Fo для поверхности (1) и центра (2) шара (резина).

По результатам расчетов построены графики зависимости безразмерной температуры на поверхности и в центре шара, от величины Fo, для стали (Рис.1) и резины (Рис.2)

3. Результаты расчета

Найдя безразмерную температуру во всех точках шара, можно определить температуру в любых точках шара в любой момент времени:

Рис. 3. Распределение температуры по толщине шара (сталь).

Таблица 2.

Рис. 4. Распределение температуры по толщине шара (резина).

Таблица 3.

Для распределения температуры по толщине шара для различных моментов времени составлены таблицы, для стального (табл. 2) и резинового шара (табл.3).

Построены графики зависимости температуры в различные моменты времени от толщины шара, для стали (рис.3) и резины (рис.4).

Также можно найти температуру в любых точках шара при малых значениях Фурье.

Рис. 5. Распределение температуры по толщине шара при малых значениях Fo (сталь).

Рис. 6. Распределение температуры по толщине шара при малых значениях Fo (резина).

По результатам, полученным для малых значений Fo, построены графики распределения температуры по толщине шара, для различных моментов времени, для стали (Рис. 5) и резины (Рис. 6)

Анализ графика распределения температуры по толщине шара при малых значениях Fo для шара из резины (Рис. 6):

Произведем расчет безразмерной температуры для шара из резины при 50 секундах, различными формулами для нахождения безразмерной температуры и сравним их:

Первая формула (1) определяет избыточную температуру по толщине шара при заданном значении Fo.

(2)

Вторая формула (2) отличается от первой тем, что в сумму ряда входит 10 членов ряда, что в 5 раз больше, чем в предыдущей.

( 3)

В третьей формуле (3) используется 100 членов ряда, что в 50 раз больше, чем в первой формуле.

Четвертая формула – формула для нахождения избыточной температуры по толщине шара для малых значений Фурье.

По результатам расчета получен график, на котором, для удобства сравнения, объединены все 4 значения избыточной температуры (Рис. 6.1)

Рис. 6.1. Распределение температуры по толщине шара (резина).

Из графика видно, что первые две формулы дают слишком большие погрешности, для удобства сравнения 3 и 4 формулы увеличим масштаб графика (Рис. 6.2)

Рис. 6.2. Распределение температуры по толщине шара (резина).

Использование формулы (3) дает большую точность решения, но в узко ограниченной области толщины шара(r=0.485-0.5м), на остальном промежутке значений радиуса шара погрешность формулы (3) гораздо больше формулы (4).

Проверим точность этих формул, задав точку радиуса шара вблизи поверхности (r=0.495м), варьируя значении параметра Фурье от 0 до 1.

П о результатам расчетов построен график зависимости избыточной температуры от параметра Фурье (Рис. 6.3).Также построен еще один график зависимости избыточной температуры от параметра Фурье, но в более ограниченной области (Рис. 6.4).

Рис. 6.2. Зависимости Θ от Fo (резина).

Р ис. 6.3. Зависимости Θ от Fo (резина).

Распределение температуры по толщине шара из стали (табл. 4) и резины (табл.5), в различные моменты времени, сведены в таблицы.

Таблица 5. Распределение температуры для шара из стали

Таблица 6. Распределение температуры для шара из резины

4. Анализ решения