142807 (Функции индивидуального предпочтения), страница 2

f (x, y)=a+b^T(y-x).

Пример 2. (Мультипликативная интенсивность переходов). Другой частный вид интенсивности переходов состоит в том, что каждый фактор подвижности как бы умножает действия всех остальных, т.е. увеличившись в несколько раз, повышает предпочтения всех остальных в то же самое количество раз. Частный случай таков:

В более общем виде, который чаще всего использовался в практике моделирования, интенсивность переходов обычно записывается следующим образом:

f (y, x)=

Замечание. Видно, что последняя функция из примера 2 связана с функцией из примера 1 тем, что после логарифмирования и измерения факторов и предпочтений в логарифмической шкале они совпадают. Действительно,

lnf (x, y)=lnA+b₁(lny₁-lnx₁) +b₂(lny₂-lnx₂)+… +b_m(lny_m-lnx_m),

т.е. логарифм мультипликативной функции предпочтения совпадает с линейной функцией предпочтения, если вместо факторов подвижности подставит их логарифмы.

7. Предельная эффективность факторов

Интенсивности переходов f (x, y) (вероятности при дискретном времени) обычно связаны (пропорциональны) функции предпочтения. Поэтому при всех фиксированных условиях (наборах факторов x и y) и интенсивности переходов и предпочтения постоянны. Но возникает вопрос, что будет происходить с этими функциями, а, следовательно, с переходами людей при малых изменениях какого-либо одного фактора подвижности, скажем, x_s, когда все остальные факторы не изменяются, т.е. при прочих равных условиях.

Математически малые изменения df (x, y)= dx_s. При изменении y_s изменение интенсивностей переходов df (x, y)= dy_s, но теперь можно учесть, что <0, а >0. Отсюда следует, что при увеличении x_s, например, реальной оплаты труда, на величину dx_s>0 интенсивность переходов уменьшается (dx_s>0, а <0), а при ее уменьшении на старом месте – увеличивается (dx_s<0, <0, т.е. dx_s>0). Аналогично, но с обратным знаком для y_s.

Теперь ясно, что кроме знака изменения интенсивности переходов известно и во сколько раз ( или ) отличается изменение функции при малом изменении аргумента (dx_s, dy_s), что дает основание называть соответствующую производную или предельной эффективностью фактора s, т.е. x_s и y_s соответственно.

Пример 3. Найдем эффективность действия фактора x_s (и y_s) для интенсивности переходов линейного вида, зависящей от трех факторов (s=1,2,3); f (x, y)=a+b^T(y-x)= =a+b₁(y₁-x₁)+b₂(y₂-x₂)+b₃(y₃-x₃). В этом случае =-b_s, а =b_s, т.е. для любого из трех факторов предельная эффективность его не зависит от значений остальных т.е. факторы увеличивают или уменьшают интенсивности независимо от значений остальных. Последнее обстоятельство сильно упрощает вычисления.

Пример 4. Найдем эластичность интенсивности от фактора x_s (y_s) для функции из примера 2. Для этого проще всего воспользоваться уже сделанным логарифмическим преобразованием, из которого следует, что (см. также задачу 1). Последние соотношения говорят о том, что эластичности интенсивности переходов от факторов (т.е. отношение к и ) постоянны по абсолютной величине для любого s, но для разных s они, вообще говоря, разные.

Из примеров 3 и 4 следует, что интенсивность переходов для примера 1 можно было бы назвать интенсивностью переходов с постоянными эффективностями факторов, а интенсивность переходов из примера 2 – интенсивностью переходов с постоянными эластичностями. Однако можно пользоваться и тем и другим названием. Гораздо важнее для дальнейшего то, что отношения а) эффективностей одноименных факторов исходных и финальных условий для интенсивности переходов с постоянной эффективностью и б) отношение эластичностей от тех же самых факторов интенсивностей переходов с постоянными эластичностями равны друг другу, так как они равны -1.

Задачи

1. Убедитесь, что равенства справедливы и без логарифми-ческого преобразования функции полезности из примера 2.

2. Пусть интенсивность перехода f (x, y)=a+b^T(y-x), где a=0,5, а b^T=(2,3,4), и индивид, имеющий x=(0,4; 0,3; 0,2), рассматривает возможные переходы в другие группы на места y₁=(0,3; 0,2; 0,3), y₂=(0,2; 0,4; 0,1) и y₃=(0,41; 0,29; 0,25) На какие места (1, 2, или 3) человек будет претендовать? Сколько их всего?

3. Сколько привлекательных мест для человека из задачи 2, если а) на каждом месте y_i (i=1,2,3) работают по 10 человек; б) если набором y₁ обладают 50, y₂ – 40, а y₃ – 10 человек? Сколько их всего?

4. Есть группы, в которые можно перейти человеку из задачи 2. Исходная группа соответствует задаче 2, а другие предоставляет те же y₁, y₂, y₃, что в задаче 3б, но добавлеена еще группа с y₄= =(o, 35; 0,2; 0,31). Обсудите вопрос какая из групп предпочтительнее, если на местах с y₁ находятся 10 человек, а с y₂, – 30, с y₃ – 20, а с y₄ – 15 человек.

5. Пусть интенсивность перехода соответствует задаче 2 и рассматриваются интенсивности перехода в группу j с состояниями y₁, y₂, y₃ из задачи 3 из группы i с состояниями x из задачи 2. Обсудите вопрос о том, что интенсивности перехода в группу j из группы i а) зависят лишь от x; б) зависят от средних значений y₁, y₂, y₃. Какую функцию от a+b^T(y-x) можно взять в качестве интенсивности перехода?

Литература

1. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. Изд. «Финансы и статистика», Москва, 1985 г.

2. Бедность: альтернативные подходы к определению и измерению. Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998 г.

3. Белкина Т.А., Лёвочкина М.С. Исследование модели оптимального управления негосударственным пенсионным фондом. В сборнике «Математические модели экономики». Изд. МГИЭМ, 2002

4. Борокин Ф.М., С.В. Соболева. Прогнозирование миграции и численности населения системой дифференциальных уравнений. Сборник Математические методы в социологии. Новосибирск, 1974 т.

5. Бреев Б.Д. Староверов О.В. Об одном методе учёта факторов в движении населения. «Экономика и математические методы», №1, 1979 г.

6. Гаврилец Ю.Н. Компромисс интересов и справедливость в оплате труда (модельный анализ). «Экономика и математические методы», том 28, выпуск 1. 1992 г.

7. Гаврилец Ю.Н. Модель равновесного функционирования экономики с переменной структурой населения. «Экономика и математические методы», том 30, вып. 2, 1994 г.

8. Гегель Г. Политические произведения, Изд. «Наука». М. 1978 г.

9. 12. Гончаренко А.Б., Староверов О.В. Подвижность населения и качество жизни. Экономика и математические методы. Том 37, выпуск 1. М. 2002 г.

10. Зайончковская Ж.А. Новосёлы в городах (методы изучения подвижности). «Статистика», М. 1974 г.

11. Заславская Т.И., Рывкина Р.В. Социология экономической жизни. Изд. «Наука», Новосибирск, 1991 г.

12. Изард У. Методы регионального анализа: введение в науку о регионах. М.: «Прогресс», 1966.

13. Кемкеи Снелл. Кибернетическое моделирование. Изд. «Сов. Радио», М. 1972 г.

14. Кендалл М.Дж.и А. Стьюарт Теория распределений «Наука», М:1966 г.

15. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. «Наука», М. 1986 г.

16. Култыгин В.П. Классическая социология. Изд. «Наука», М. 2000 г.

17. Леман Э. Проверка статистических гипотез. «Наука». М: 1964 г.

18. Матлин И.С. «Моделирование размещения населения». Изд. «Наука», М.1975 г.

19. Миграция населения (редактор Воробьёва О.Д.). Изд. Министерства по делам федерации, национальной и миграционной политики РФ. М. 2001 г.

20. Моделирование социальных процессов. Изд. РЭА им. Плеханова, М.1993 г.

21. Нестерова Д., Сабирьянова К. Инвестиции в человеческий капитал в переходной период в России. Научный доклад №99–04, РПЭИ / Фонд Евразия, 1999.

22. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М: Изд. «Наука», 1979.

23. Рао С.Р. «Линейные статистические методы и их применение». «Наука», М:1968 г.

24. Результаты обследования движения трудовых ресурсов Латвийской ССР за 1973 год, Рига, Центральное статистическое управление при Совете Министров Латвийской ССР, 1975.

25. Российские статистические ежегодники: Госкомстат России. – М.

26. Сен Амартия. Об этике и экономике. Изд. «Наука», М. 1996 г.

27. Система знаний о народонаселении (редактор Валентей Д.И.) «Высшая школа», М. 1991 г.

28. Соболева С.В. «Демографические процессы в региональном и социально-экономи-ческим развитии». Изд. «Наука», Новосибирск, 1998 г.

29. Современная демография. Под ред. А.Я. Кваши, В.А. Ионцева. Изд. МГУ. 1995 г.

30. Староверов О.В. (1978). Сложные факторы в моделях движения населения. Сборник Прикладной многомерный статистический анализ. «Наука», Москва.

31. Староверов О.В. (1979) Модели движения населения. Изд. «Наука» Москва.

32. Староверов О.В. (1997). Условия жизни и межгрупповая мобильность. Экономика и математические методы. Том 33, вып. 4

33. Староверов О.В. (1997) Азы математической демографии. Изд. «Наука», М.

34. Староверов О.В. (2003) Общая модель движения населения. Труды международной научно-практической конференции по миграции населения и перспективам демографического развития: России. Изд. ГУ ИМЭИ при МЭ, М.

35. Староверова Т.О. О распределении социальной помощи бедным. «Экономика и математические методы». №1, Москва, 2003 г.

36. Толстая тетрадь. Экономическая школа. Выпуск 2. СП б. 1992 г.

37. Фихтенгольц Г.Ф. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. Стр. 188–189.

38. Чапек В.Н. и др. К вопросу о миграции из России интеллектуальных ресурсов труда. В сборнике «Международная конференция Миграция населения и перспективы демографического развития России». Изд. ГУ ИМЭИ, М. 2003 г.

39. Alonso W. Theory of Movements: Introduction. Berkley. Institute of Urban and Regional Development. University of California, 1976.

40. Atkinson A. On the Measurement of Poverty. Econometrica, 1987. Vol.55, No 4.

41. Bartholomew D.J. (1982). Stochastic Models for Social Processes. J. Wiley. Chichester – New York.

42. Begg D, Fischer S, Dornbusch R. Economics. McGraw-Hill. London, New York, 1991

43. Bourguignon François. Decomposable Income Inequality Measures. Econometrica, v. 47, №3. 1979.

44. Bourguignon F., G. Fields «Discontinuous loss from Poverty, generalized measures, and optimal transfers to the poor». XI the World Congress of IEA. Tunis, 18–22 December 1995.

45. Cossinus H. (1976). Quelque points de vue sur l'analyse des talleaux d'echauges. Annals de L'ISEE, N22–23.

46. Cowell F. Measures of Distribution Change: An Axiomatic Approach. The Review of Economic Studies, Vol. LII (1), No 168. 1985.

47. Dagum C. Inequality Measure between Income Distributions with Applications. Econommetrica, v. 48, N7, 1980

48. Isard W. (1960). Methods of Regional Analysis: an Introduction to Regional Science. New York.

49. Journal of Econometrics. V 42, №1, за 1989 г.

50. Fields. Place-to-Place Migration: Some new Evidence. Review of Economics and Statistics. Vol. LXI, N1, 19879.

51. Foster J.E., Shorrocks A.F. «Poverty Orderings». Econometrica, V.56, №1, 1988.

52. Holmlund В. Labour Mobility. IUI, Stokholm, (1984).

53. Ravallion M. Poverty Comparison. Harwood Academic Publisher, 1992.

54. Ravenstein E.G. The Lows of Migration. Journal of the Royal Statistical Society. 1885 и 1889 годы, XLVIII и LII

55. Rogers A. Introduction to Mathematical Demography, John Willey, 1975.

56. Rosen S. Human Capital. In Handbook of Public Economics, Vol. 1. Ed. Auerbach and Feldstein, Amsterdam: North Holland. 1985

57. Sen A. Poverty; an Ordinal Approach to Measurement. Econometrica, 1976, No 2.

58. Shakhnovich R., Yudashkina G. Wage-Setting and Employment Behavior of Enterprises during the Period of Economic Transition. WP №01–04, EERC. 2001

59. Shorrocks A.F. The class of Additively Decomposable Measures. Econometrica, v. 48, ¹3. 1980.

60. Shorrocks Antony «Notes end Comments Revisiting the Sen Poverty Index», Econometrica. Vol. 63, No 5. (September, 1995, pp 1225–1230.

61. Weidlich W., G. Haag (Eds), (1988). International Migration. Springer – Verlag, New York – London – Tokyo.