Всё (Всё. Шпора)

Второе достаточное условие точки перегиба

-подозревается на перегиб

- т перегиба. Док-во

Знак опред . При пер через мен знак

- т перегиба

Второй достаточный признак локального экстремума в стационарной точке

-стац т -т экстр; -мин,

-макс. Доказательство:

;

-мин; -макс

Доказательство эквивалентности определений по Гейне и по Коши (от противного)

а) Запишем определение по Гейне

Запишем определение по Коши с учётом того,что оно не выполняется

Так как - любое, то представим как последовательность

Тогда для каждого у нас существует свой

Перешли от функций к последовательностям и при этом получили противоречие

не сходится к b

б) Возьмём последовательность сходящуюся к a

Запишем определение сходящейся последовательности

Так как предыдущая запись является частью определения по Коши

Перешли от функций к последовательностям. сходится к b

Достаточные условия выпуклости(вогнутости) графика

вып)

вогн) Доказательство

по т Лагранжа

= по т Лагранжа

вып) -вогн

Метод касательных

; Кас

через :

Усл сход:

Погр:

Метод половинного деления

Погр:

Метод простых итераций

.Сход Общ случ:

- расстояние

Метод хорд

~

;

.Точн

Необходимое и достаточное условие существования предела

1)

2)

Необходимое условие локального экстремума

т лок экстр

Доказательство: пусть -макс; рассм (1) :

Необходимое условие точки перегиба

- т перегиба

. Док-во

- т перегиба

мен знак (пусть с “-“ на “+”)

аналог для с “+“ на “-”

Определение непрерывности на языке приращений

-приращ аргумента

;

Остаточные члены в Формуле Тейлора

Лагранжа:

Коши:

Пеано:

Теорема о непрерывности сложной функции

-непрер в т -

непрер в т

непрер в

Первое достаточное условие точки перегиба

и - точка подозреваемая на перегиб

меняет знак при переходе через - т перегиба. Док-во

мен знак мен знак) - т перегиба

Первый достаточный признак локального экстремума в критической точке

-крит т. - знакопост

в интерв мен знак при непрер пер через - экстр

( - макс ; - мин). Доказательство

мен знак

- лок макс

Правила Лопеталя-Бернулли

1.

2. удов усл т Коши

Для

3.

Доказательство

по т Коши

,

Замеч Если в рез-те и

Оказ 0 и вып все усл то имеем право

Провести преобр повторно

Производная сложной функции

Доказательство:

Производная функции, заданной параметрически

Доказательство

Свойства функций непрерывных на отрезке

Первая теорема Вейерштрассе

Вторая теорема Вейерштрассе

Первая теорема Больцано-Коши

Вторая теорема Больцано-Коши

Таблица эквивалентных величин

sin(x) ~ x,1 – cos(x) ~ , tg(x) ~ x

ln(1+x) ~ x , - 1 ~ x , arcsin(x) ~ x

Теорема Коши

1. -непрер на

2. -дифф на

3.

Доказательство

и вып пр усл по т Роля

;найдём

Следствие. При

Теорема Лагранжа

1. -непрер на

2. -дифф на

Доказательство

по т Роля

Замеч. Пусть

Теорема Ролля

1. -непрер на

2. -дифф на

3.

Доказательство

-непрер на

(по 2-ой т Вейерштрассе)

a)

б) пусть

Теорема Тейлора

, где

Доказательство

Выберем t между и . Найдём разность , где

по т Ролля

;

;

Теорема Ферма

Доказательство

Пусть - минимум

по т. о связи сущ. произв. и непрер. ф-ции

Третий достаточный признак локального экстремума

-стац т

-нечёт – экстр нет; k – чёт:

- мин, - макс. Доказательство: расклад-ем

по формуле Тейлора с ост членом Пеано и

ан разн

Условия монотонности функции

Необходимое условие монотонности дифференцируемой функции на отрезке

-монотонно возрастает (убывает)

Доказательство: рассм (1)

;

; (аналогично для убывания )

Достаточное условие монотонности дифференцируемой функции на промежутке

-монотонно возраст (убыв)

Доказательство: (по т Лагранжа)

монотонно возрастает

Формула Маклорена

Лагранж:

Коши:

Пеано:

Формула Тейлора

Многочлен Тейлора:

Форма записи дифференциала первого порядка

Теорема о локально ограниченной функции

имеющей предел огр

в окр т a // опред предела по Коши

лок огр

в окр т a

Теорема о сохранении функцией знака своего предела

запис опред предела

пусть

Теоремы о бесконечно малых

1. ~

2. ~

3. ~ ~ ~

4. ~ ~

5. -бмф разн пор мал. ~

бмф самого низкого пор малости

Второй замечательный предел

сход к 0;

сход к 0

сход к e

Достаточное условие выпуклости

выпуклость)