Матан 1 сем. Вопросы по матану (Программа для подготовки к экзамену по математическому анализу. (1 курс 1 семестр))

Программа для подготовки к экзамену по математическому анализу.

(1 курс 1 семестр)

Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности (с док-вом). Теорема об ограниченности сходящейся последовательности (с док-вом ). Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности (без док-ва). Число "е" как предел последовательности {(1 + 1/n)ⁿ} .

Определения предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность (без док-ва). Односторонние пределы. Теорема о единственности предела функции (с док-вом). Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел (с док-вом). Теорема о предельном переходе в неравенстве (с док-вом). Теорема о пределе промежуточной функции (с док-вом).

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о сумме бесконечно малых и произведении бесконечно малой на ограниченную функцию (с док-вом). Теорема о связи бесконечно малой функции с бесконечно большой (с док-вом). Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой (с док-вом). Теорема о пределе суммы функций (с док-вом). Теорема о пределе произведения функций (с док-вом). Теорема о пределе частного функций (с док-вом). Теорема о пределе сложной функции (с док-вом). Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (с выводом).

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых (с док-вом). Теоремы об эквивалентных бесконечно больших.

Непрерывность функции в точке, в промежутке. Свойства функций, непрерывных в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (с док-вом). Доказательство непрерывности многочлена, функций у = sin x, у = e^х. Свойства функций, непрерывных на отрезке (без док-ва). Непрерывность обратной функции (без док-ва). Точки разрыва функций, их классификация. Асимптоты графика функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты.

Производная функции в точке. Касательная, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к плоской кривой. Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной (с док-вом). Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с док-вом).

Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного. Теорема о дифференцируемости сложной функции (с доказательством). Теорема о дифференцируемости обратной функции (с доказательством). Вывод производных основных элементарных функций.

Дифференциал функции - определение, геометрический смысл. Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с док-вом).

Теоремы Ферма и Ролля (с док-вом). Теорема Лагранжа (с док-вом). Теорема Коши (с док-вом). Теорема Бернулли - Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций (с док-вом). Теорема Бернулли - Лопиталя для предела отношения двух бесконечно больших функций (без док-ва). Сравнение на бесконечности роста показательной, степенной и логарифмической функций.

Формулы Тейлора с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано (вывод одной из формул по выбору). Необходимое условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции (с док-вом). Достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции (с док-вом). Локальный экстремум функции. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции (с док-вом). Первое достаточное условие существования экстремума функции (по первой производной) (с док-вом). Второе достаточное условие существования экстремума функции (по второй производной) (с док-вом). Выпуклость графика функции на промежутке. Достаточное условие выпуклости графика функции (с док-вом). Точки перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба графика функции (с док-вом). Схема полного исследования и построения графика функции.

Векторная функция скалярного аргумента, ее годограф. Предел и непрерывность вектор-функции. Производная вектор-функции, ее геометрический и механический смысл. Касательная к пространственной кривой. Правила дифференцирования вектор-функции. Теорема о производной вектор-функции постоянной длины (с док-вом).

Понятие длины дуги плоской кривой. Производная и дифференциал дуги плоской кривой, его геометрический смысл. Кривизна кривой, радиус, центр и окружность кривизны. Эволюта и эвольвента, их свойства (без док-ва).

Решение нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам. Методы хорд и касательных.