Аналитичка. Вопросы экзамена

Вопросы к экзамену по аналитической геометрии

Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора как направленного отрезка. Нуль-вектор, единичный вектор (орт.). Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Связанные, скользящие и свободные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций. Противоположные векторы. Вычитание векторов. Ортогональная проекция вектора на направление. Теоремы о проекциях.

Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость векторов. Критерий линейной зависимости двух и трех векторов. Линейная зависимость четырех векторов. (с док-вом необходимого и достаточного условий).

Базис и размерность пространства свободных векторов. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Единственность разложения вектора по базису (с док-вом). Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Ортонормированный базис.

Скалярное произведение, его алгебраические свойства. Координатное представление скалярного произведения в ортонормированном базисе (с выводом). Вычисление модуля вектора, угла между векторами, проекции вектора на направление в ортонормированном базисе (с выводом). Координаты вектора, как его проекции на направление базисных векторов. Направляющие косинусы вектора, их свойства.

Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов.

Векторное произведение векторов, его свойства. Геометрический смысл модуля векторного произведения. Механический смысл векторного произведения. Координатное представление векторного произведения в ортонормированном базисе (с выводом). Критерий коллинеарности двух векторов.

Смешанное произведение трех векторов, его свойства и геометрический смысл. Координатное представление смешанного произведения в ортонормированном базисе (с выводом). Объем параллелепипеда и треугольной пирамиды (с выводом). Условие компланарности трех векторов.

Определение декартовой прямоугольной системы координат. Решение задачи о нахождении длины отрезка и делении отрезка в заданном отношении.

Прямая на плоскости. Алгебраическое уравнение первой степени и его связь с прямой в декартовой системе координат. Различные виды уравнений прямой: общее, с угловым коэффициентом, каноническое, нормальное, векторное, параметрическое, в отрезках, уравнение прямой, проходящей через 2 точки (с выводами). Перпендикулярность прямой и вектора, нормальный вектор прямой, направляющий вектор прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости (для различных форм записи уравнений прямой). Отклонение точки от прямой и расстояние от точки до прямой (с выводом). Пучок прямых.

Плоскость в пространстве. Алгебраическое уравнение первой степени и его связь с плоскостью в декартовой системе координат. Различные виды уравнения плоскости: общее, нормальное, в отрезках, уравнение плоскости, проходящей через 3 точки (с выводами). Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Отклонение точки от плоскости, расстояние от точки до плоскости (с выводом). Связка и пучок плоскостей.

Прямая в пространстве. Общие, векторное, канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Переход от общих уравнений к каноническим. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямых, прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоскости. Условие компланарности двух прямых. Расстояние между точкой и прямой, между плоскостью и прямой, расстояние между параллельными прямыми. Скрещивающиеся прямые, расстояние между ними.

Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Определение и вывод канонических уравнений.

Поверхности второго порядка. Определение цилиндрических поверхностей второго порядка. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка. Эллипсоид, конус, их канонические уравнения. Канонические уравнения гиперболоидов. Канонические уравнения параболоидов. Метод сечений построения и исследования поверхностей.

Матрицы, виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции с матрицами и их свойства. Транспонирование матриц и его свойства. Операция умножения матриц и ее свойства. Перестановочные матрицы. Примеры.

Определители и их свойства. Вычисление определителей.

Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы и ее единственность (с док-вом).

Присоединенная матрица. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двух обратных матриц (с док-вом).

Решение матричных уравнений I и II типа (2 способа).

Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы. Критерий линейной зависимости. Миноры матрицы, базисный минор. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре (с док-вом). Следствие из теоремы для квадратных матриц (с док-вом).

Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований ее строк и столбцов. Способы вычисления ранга матрицы (окаймляющих миноров и с помощью ЭП строк).

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), их классификация и основные определения. Координатная, матричная и векторная записи СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли (с док-вом). Вывод формул Крамера для решения квадратной системы линейных алгебраических уравнений.

Однородная СЛАУ. Критерий ее нетривиальной совместности, следствие для квадратной однородной СЛАУ. Определение ФСР. Теорема о существовании ФСР однородных СЛАУ. Решение однородных СЛАУ (частные и общее), свойства решений.

Неоднородная СЛАУ. Исследование и решение неоднородных СЛАУ.

Связь решений неоднородной и соответствующей ей однородной СЛАУ. Теоремы о структуре общих решений однородной и неоднородных СЛАУ (с док-вом).