86369 (Системы линейных и дифференциальных уравнений), страница 2

В итоге и подставляя получаем - общее решение уравнения.

Найдём решение задачи Коши для :

Искомое решение .

в) - неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его решение представляет собой сумму , где - общее решение однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения, зависящее от и вида правой части неоднородного уравнения.

Решением уравнения вида будет , где - корни характеристического уравнения .

Запишем характеристическое уравнение для :

и найдем его корни:

Тогда решение уравнения имеет вид: , где С₁ и С₂ – произвольные константы.

будем искать в виде

Тогда:

и подставляя в уравнение получаем:

откуда, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получаем:

,

т.е.

Общее решение неоднородного уравнения есть

Ответ: а) ;

б) ;

с) .

8.

а) Исследовать сходимость ряда.

б) Определить область сходимости ряда.

а) б) .

Решение:

а) - рассмотрим ряд из абсолютных величин .

Поскольку , то .

Ряд сходится как обобщенный гармонический ряд степени р = 2 >1, следовательно и меньший ряд также сходится.

Исходный ряд сходится абсолютно.

б) Для степенного ряда вида интервалом сходимости будет интервал (x₀ – R; x₀ + R), где - радиус сходимости степенного ряда.

Для нашего ряда получим: x₀ = 2 и общий член .

Тогда:

Получили интервал сходимости (2 – 2; 2 + 2) или (0; 4).

Рассмотрим концы интервала.

х = 4: - расходящийся гармонический ряд.

х = 0: - условно сходящийся ряд Лейбница.

Ответ: а) сходится абсолютно; б) [0; 4).

Размещено на Allbest.ru