86356 (Общий курс высшей математики)

Академия труда и социальных отношений

Курганский филиал

Социально-экономический факультет

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Общий курс высшей математики»

Студент гр. ЗМб 1338

Ст. преподаватель

Курган – 2009

Задание 03

В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если А(4,2), С(16;18), . Сделать чертеж.

Решение:

Зная координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

12(y-2)=16(x-4);

12y-24=16х-64

16х-12у-40=0 /:4

4х-3у-10=0 – уравнение диагонали А С в форме общего уравнения прямой.

Перепишем это уравнение в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом:

-3y=-10-4х;

3y=4x-10;

y= откуда k А С=

Так как в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен

К_ВD =

Само же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом К_BD.

В качестве «заданной точки» возьмем точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:

Е (10;10)

Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде

у – yE= К_ВD (x-xE)

y-10= (x-10);

y-10= x+ / 4

4у-40=-3х+30

3х+4у-70=0 – уравнение диагонали BD

Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты К_АВ = К_CD и К_ВС = К_AD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны – это вершины А и С ромба.

Для определения указанных угловых коэффициентов воспользуемся формулой , позволяющей вычислять тангенс угла φ между двумя заданными прямыми по их угловым коэффициентам К₁ и К₂; при этом угол φ отсчитывается против часовой стрелки от прямой у = К₁х + b₁ до прямой у = К₂х + b₂. Формула оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент К_АС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс ( ).

Так диагонали ромба делят его углы пополам, то, положив из формулы для тангенса двойного угла при найдем tg φ:

Положим z = tg φ; тогда , тогда

15 2z = 8 (1-z²)

30z=8-8z²

8z²+30z-8=0 /:2

4z²+15z-4=0

D=15²-4 4 (-4)= 225+64=289

z₁= ;

z₂₌

Но т.к. угол в ромбе φ всегда острый корень z₂=-4 отбрасываем и получаем в итоге, что tg φ =

Угол φ является углом между прямыми ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD – с другой (см. чертеж).

Потому в первом случае по формуле имеем

откуда при то получим

4( )=1+ ;

= / 3

16-12 K_BC=3+4K_BC;

16 K_BC=13;

K_BC=

Во втором случае по формуле имеем = ;

При К_АС = получим:

;

4(KcD- )=1+ KcD;

4KcD- =1+ KcD / 3;

12KcD-16=3+4KcD;

8KcD =19

KcD=

Так как противоположные стороны ромба параллельны, то тем самым мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.

К_CD = K_AB = ;

K_BC = K_AD = .

Зная теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.

Уравнение АВ: у – уA = K_{A B} (х – хA),

у -2 = (х-4) / 8;

8у-16=19х-76;

19 х-8 у-60=0.

Уравнение CD: у – у_C= К_CD(х – x_C)

у -18= ( х-16) / 8;

8у -144=19х-304;

19 х-8 у-160=0.

Уравнение ВС: у – у_C= К_BC ( х x_C);

у -18= ( х - 16);

у - 18= х – 13 / 16;

16у -288 = 13х - 208;

13х -16 у +80=0

Уравнение AD: у – уA = КA_D( х -xA);

у -2= ( х -4);

у -2= х - / 16;

16у -32= 13х-52;

13х-16у-20=0

Вершины ромба являются точками пересечения его соответствующих сторон. Поэтому их координаты найдем путем совместного решения уравнений этих сторон.

19х -8у -60 = 0 / (-2)

13х -16у +80= 0

- 38х+16у+120=0

13х-16у+80=0

-25х = - 200

х = 8

13 8 -16у+80=0

104-16у+80=0

16у=184

у=11,5 т.В (8;11,5)

Для вершины D:

1 9х -8у +-160 = 0 / (-2)

1 3x - 16 y – 20 = 0

-38х + 16у +320 = 0

13x - 16 y – 20 = 0

-25х = - 300

х=12

13 12 - 16у-20 = 0

156 -16 у-20=0

16у – 136

у=8,5 т.D (12;8,5)

Координаты этих точек удовлетворяют ранее найденному уравнению 3х + 4у - 70 = 0 диагонали BD, что подтверждает их правильность.

Площадь ромба вычислим по формуле S = ½ d₁d₂, где d₁ и d₂ – диагонали ромба.

Полагая d₁ = |АС|, а d₂ = |BD|, длины этих диагоналей найдем как расстояния между соответствующими противоположными вершинами ромба:

d₁ =

d₂ =

В итоге площадь ромба будет равна S = ∙ 20 ∙ 5 = 50 кв.ед.

Ответ:

АС: 4х - 3у - 10 = 0;

BD: 3х + 4у - 70= 0;

АВ: 19х -8у -60 = 0;

CD:19 х -8у - 160 = 0;

ВС: 13х -16у + 80 = 0;

AD: 13х -16у – 20=0;

В (8;11,5);

D (12; 8,5);

S = 50 кв.ед.

Задание 27

Найти предел

а)

Решение:

а) Функция, предел которой при х→ 2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х→ 2 равен нулю.

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение , сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:

= = =

= =

2 х ² - 3 х - 2=0

D=3 ² -4 2 _(-2)=9+16=25

х1 = = =2;

х2 = = = -

= =

= = =12,5

Ответ: 12,5

б)

Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:

= =

=

= =

+ =

Найдем каждый сомножитель.

= = = =

+ )=( =1+1=2.

Предел есть первый замечательный предел.

Таким образом.

после замены t=3x будет равен =3

Аналогично =5

Получим

=

1

В итоге получим:

Ответ:

в)

Преобразуем основание данной функции:

Ведем новую переменную t= , тогда

t (4x-1) = 2

4xt – t = 2

4xt =2 + t

x=

x=

Заметим, что предел функции t при x → ∞ равен нулю т.е t → 0 при x → ∞. Следовательно

= = =

=

Воспользуемся теоремой о пределе произведения, следствием теоремы о пределе сложной функции, вторым замечательным пределом получим.

Ответ:

г)

Представим выражение под знаком предела в виде

= = =

= =

Найдем значение каждого предела:

= =1

= - ln e следствие из второго замечательного предела.

=3 =3 1=3

В итоге получим

=1 = =

Ответ:

Задание 50

Найти производную функции

а)

Решение:

при решении будем применять правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.

=

= =

=

б)

+

+ = + =

= + = +

в)

Решение:

г)

= =

= -

= - = -

- = -

= =

Задание 73

Вычислить приближенное значение функции f (x) = ln в точке x1 заменив приращение функции в точке х₀ = 0 ее дифференциалом. Если известно a=8; b=13; c=21;x1=0.013

Решение:

Если приращение аргумента ∆х = х₁ – х₀ достаточно мало по абсолютной величине, то приращение функции ∆f = f (x₁) – f (x₀) приближенно равно дифференциалу функции df. Поэтому справедлива формула

f (x₀ + _∆x) ≈ f (x₀) + f ^/ (x₀) _∆x.

Для вычисления приближенного значения функции у = ln в точке х₁ = 0,013 вычислим производную этой функции в точке х₀ = 0:

f ^/ (x) = = =

= =

f ^/ (x) = f ^/ (0) = = =-1

Подставив в формулу получим; f (0,013) =-0,013

Ответ: -0,013

Задание 96

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение

1. Область определения данной функции – вся числовая ось, то есть интервал (-∞; +∞), так как выражение

f (x) =

в правой части аналитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.

2. Как элементарная функция, данная функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, то есть в каждой точке числовой оси.

3. Найдем все асимптоты графика данной функции.

Вертикальных асимптот график данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняя непрерывна на всей числовой оси формула

Для отыскания наклонной асимптоты при х→ +∞ вычислим следующие два предела k = lim y/x и b = lim (y – kx)

Если оба они существуют и конечны, то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой при х→+∞ графика функции у = f (x)

Прежде чем обращаться к вычислению указанных пределов, напомним тождество √х² = |х| (1), из которого следует, что при x > 0 √х² = х ,

а при х < 0 √х² = -х или х = -√х² (2)

Приступая к вычислению первого предела, разделим числитель и знаменатель дроби на х², затем воспользуемся равенством (1) и основными свойствами предела:

k= = = = = =

= =0

Для вычисления второго предела разделим числитель и знаменатель дроби на х и, действуя далее аналогично тому, как и при вычислении первого предела, получим:

b = (y – kx)= y = = =

= = =3

Следовательно, прямая у = 3 является наклонной асимптотой графика данной функции при х→+∞ (поскольку угловой коэффициент k этой прямой равен нулю, то такую наклонную асимптоту называют также горизонтальной при х→+∞.

Для отыскания наклонной асимптоты при х→ -∞ вычислим пределы k₁ = lim y/x и b₁ = lim (y – kx)