86245 (Экстремальная задача на индексационных классах)
Описание файла
Документ из архива "Экстремальная задача на индексационных классах", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86245"
Текст из документа "86245"
Содержание
Введение
Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения
§ 3. Доказательство теоремы
Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, )
Литература
Введение
В работе вводится понятие индекса функции на [0,) относительно произвольного класса F функций на [0, ), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция (t), tR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A12<…k+1, такие, что
а) ;
б) знаки функции (t) на множествах A1, A2, …, Ak+1 перемежаются.
Пусть f(t) и g(t) – функции на R1. Пишем , если функция =g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.
Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда
а) не существует точки x1, …, xk (-
(-1)k-i f(xi) > (-1)k-i g(xi), ;
б) существуют точки y1, …, yk (-
(-1)k-i f(yi) > (-1)k-i g(yi), .
Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ) и f, g F.
Определение 2. Пишем , если для любой функции hF, hg, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hF, hf, выполнено одно из отношений: , , , .
Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено и не выполнено .
Через Ik- (Ik+), k1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+) в F.
Пусть U – семейство функций на [0, ).
Через FU обозначим множество функций fF, для которых интегралы
, uU,
абсолютно сходятся.
В случае положим , fFU, AFU, :
, Fi(A)={Fi(f): fA},
, ,
.
Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .
Лемма 1. Пусть системы u1(t), …, un(t) и u1(t), …, un(t), un+1(t) образуют T+-системы на [0, ) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то
.
Доказательство. Допустим, что , где kn, и A1, …, Ak – множества строгого знакопостоянства функции g - f. Для векторов рассмотрим матрицу
.
Так как
, ,
то есть
, (1)
где di(-1)k-i, и di=0, для всех векторов .
Из (1) следует, что detH( )=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H( ), получим
, (2)
где 01<2<…<k<. Так как векторы линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов . Из (2) получаем .
Пусть теперь и .
Так как
, (3)
где di=(-1)n+1-i, , то
,
где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством dn+1=1 это означает, что d>0.
Определение 3. Скажем, что последовательность {fi}i1 функций на [0, ) относительно класса U слабо сходится к функции f , если
для всех uU.
Определение 4. Множество AFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .
Множество AFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.
Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)L при t0, fF;
2. ;
3. Множества Ik- (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Из любой последовательности {fi}i1I-k+1 (k>n) такой, что
,
можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .
Пусть система образует T+ - систему на [0, ).
Рассмотрим систему функций , такую, что wi=ui для и - T+ - системы для mn (см. [1]).
Теорема 1. Пусть система образует T+ - систему на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда
.
Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj}j1Ik- такая, что . Зафиксируем произвольное fl.
Если flIk-, где kn+1, то положим fl*=fl.
Пусть k>n+1 и ={ } – (k-1, W) окрестность fl в Ik-.
Рассмотрим произвольные и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для sk-1. Следовательно, и , что невозможно.
Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в Rk-1, содержащее .
Пусть , и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x1, …, xk-2. Условие k-1=0 противоречит чебышевости системы . Положим k-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk-2.
Имеем
,
где cli – i-ая компонента вектора , и, следовательно,
.
Так как константа К не зависит от f, то ml >-.
Кроме того, .
Возьмем последовательность , такую, что
Fk-1(flp)>Fk-1(flq)=ml при p , Рассмотрим произвольные flp и flq, где p Так как , то найдется функция , такая, что Fk-1(fl’)=ml. Отношение fl’Ik- невозможно, в силу определения числа ml и принципа инвариативности области. Отношения fl’Im- для m Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия следует утверждение теоремы 1. Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если: 1. Класс F равномерно ограничен; 2. ; 3. Множества Ik+ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1; 4. Для k>n из любой последовательности {fi}i1Ik+ такой, что , можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ; 5. Ik+FU для kn+1. Теорема 2. Пусть система образует T+-систему на [0, ), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда . Определение 6. Систему непрерывных на [0, ) функций назовем T+1-системой, если она является T+-системой, и, кроме того, системы u1, …, ul-1, ul+1, …, un также являются T+-системами для . Лемма 2. Пусть - T+1-система на [0, ), функции f и g таковы, что (-1)n-i Fi(f) (-1)n-i Fi(g), . Тогда отношения , и , , невозможны. Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1pn. Пусть x1, …, xp-1 (- , (4) где hi=1. Из условия следует, что hn=1. С другой стороны, из (4) получаем , где А – матрица, записанная в (4) слева, Ani – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T+1-система на [0, ), то detA>0, detAni>0, . Следовательно, hn0. Получили противоречие. Случай , , рассматривается аналогично. Теорема 3. Пусть - T+1-система на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда . Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и для , j1. Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что . Существует j1, такое, что , где - какая-либо метрика в Rn, и , . Выберем j2 так, чтобы и , . Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и (5) Рассмотрим произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий . Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем , т. е. существует функция такая, что . Включение противоречит условию , в силу принципа инвариативности области. § 1 Экстремальная задача Пусть – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -(k)(t)>0 для t[a, b] и ; c1, …, cn – вещественные константы; [a, b]. Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла на множестве ФР из , удовлетворяющих ограничениям , . Для классов o - всех ФР на [a, b] и ВL – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , - Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5]. Задача при b решена в [4] для мажоризационных классов. Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР. Ниже предполагается, что - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, o, BL, класс унимодальных ФР на [a, b] и др. Обозначим (k A, ): Ik+ (Ik-) –множество всех ФР из , имеющих индекс k+ (k-); ; - пространство моментов порядка k; ; ; , . Основной результат работы содержится в утверждении. Теорема. Пусть , . Тогда: , , , . § 2 Свойства отображения Нам понадобятся два факта из [6]. 1. Для любого существует и единственная ФР . 2. Если , то множество одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок обозначает слабую сходимость)) и ФР такие, что , , , для и для . Пусть и , где , a, b. Функция непрерывна слева на [a, b] и (a)=0 для всех . Так как t>0 при t[a, b], то не убывает по . Далее, из k при k следует . Следовательно, семейства распределений { } и { } непрерывны. Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0(f)<…m(f) (под X Лемма 1. Для любого распределения ( ) и для любого , , функция - ( - ) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b]. Доказательство. Предположим, что функция - имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a Равенство запишем в виде tci, , где , , с0 = 1. Очевидно, что последовательности u0, …, uk, , образуют T+ - системы на [a, b]. Из условия (k)(t)>0 для t[a, b] и следует (см. [1]), что последовательности –u0, …,-uk , также образуют T+ - системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция - не может иметь n+1 строгих перемен знака. Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами Bi(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P0(f)=(-, infB1(f)], Pi(f)=[supBi-1(f), infBi+1(f)], , Pk(f)=[supBk-1(f), +). Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций { - :[0,1]} и { - :[0,1]}. Число (число ) назовем: параметром первого типа, если функция () имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция () отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция () имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция () имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна. Каждому [0,1] ([0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0(), …, Xn+2() (Y0(), …, Yn+2()) следующим образом. Если () есть: параметр первого типа, то Xi()=Pi(), (Yi()=Pi(), ); параметр второго типа, то Xi()=Pi-1(), , X0()=(-, infB0()], (Yi()=Pi(), , Yn+2()=(supBn+1(), +)); параметр третьего типа, то Xi()=Pi(), , Xn+2()=[supBn+1(), +)), (Yi()=Pi-1(), , Y0()=(-, infB0()]). Таким образом: (-1)n-i(t)0 при tIntXi(), , (1) (-1)n-i(t)0 при tIntYi(), . При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XIntXi() и (-1)n-i(t)0 при tX. Ни для какого i не существует интервала YIntYi() и (-1)n-i(t)0 при tY. Заметим также, что Xi(0)=Yi+1(0), Xi+1(1)=Yi(1). Определение 2. Отображение Z(): [0, 1]Z()R1 непрерывно, если из i0, xix0, где 0, i [0, 1], xiZ(i), i1, следует x0Z(0). Лемма 2. Отображения Xi(), Yi(), непрерывны. Доказательство. Пусть j, j. Обозначим через границы отрезка Xi(j). Определим a0=-. Возьмем произвольную точку a1 сгущения последовательности {a1(j)}j1. Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {ai(j)}j1, и {bi(j)}j1, . Положим bn+2=+. Итак, , , (2) причем -=a01b0a2b1…an+1bnan+2bn+1n+2=+. (-1)n-i(t)0 (3) при t(ai, bi), если aibi. Из (3) и следует, что aibi, , так как в противном случае функция имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi() следует [ai, bi]Xi(), . Для любого i из xj[ai(j), bi(j)] и xjx0 вытекает, что x0[ai, bi]. Следовательно, x0Xi(). Непрерывность отображений Yi() доказывается аналогично. § 3 Доказательство теоремы В случае утверждение теоремы очевидно. Пусть . Лемма 3. Для любого ФР и любой точки [a, b] существует ФР такая, что v(t)(t) (v(t)(t)) в некоторой окрестности точки . Доказательство. Если не существует такого i, 0in+2, что n-1 четно и Yi(0), то в некоторой окрестности точки имеет место 00. В этом случае положим . Пусть существует i такое, что n-i четно и Yi(0). Случай I, in+2. a) Предположим, что Yi(1). Пусть . Согласно лемме 2, Yi(). В силу сделанного предположения, <1 и, следовательно, существует последовательность {j}j1 такая, что Yi(j) и j. Пусть для некоторого l не существует такого k, что n-k четно и Yk(l). Тогда в некоторой окрестности точки . В этом случае полагаем . Если же для всех j, j1, существует kj такие, что n-kj четны и , то существует m, mi, такое, что n-m четно и Ym(j) для бесконечного числа элементов последовательности {j}. По лемме 2 Ym(). Так как n-i и n-m четны, то mi-1, mi+1. Вместе с mi это противоречит включению Yi(). б) Предположим, что Yi(1)=Xi+1(1). Пусть inf{Xi+1()}. Согласно лемме 2, Xi+1(). Если , то Xi+1(0)=Yi+2(0). Это противоречит условию Xi+1(). Поэтому и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а). Случай II, i=n+2. а) При Yn+2(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I. б) Пусть Yn+2(1). Так как Yn+2(1)Yn+1(1), то Yn+1(1). Точка не может совпадать с левым концом отрезка Yn+1(1), так как в этом случае множества Yn+1(1) и Yn+2(1) совпадают, что невозможно. Так как Yn+1(1) и не совпадает с левым концом отрезка Yn+1(1), то 1(t)0 в некоторой окрестности точки . В этом случае полагаем . Итак, доказано существование такой ФР , что - в некоторой окрестности точки . Случай - рассматривается аналогично. Теорема следует из леммы 3 и утверждения: () и (+0) достижимы. Докажем последнее. Пусть d= () . Пусть последовательность ФР , i, такова, что . Выберем подпоследовательность последовательности {i}, слабо сходящуюся к некоторой ФР . Покажем, что d. Для произвольного >0 выберем < такое, что -< и - точка непрерывности . Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ()-()<, из которого следует, что () - ()<, j>N. Так как () (), то () - ()<, откуда следует ( - d. Последнее неравенство влечет d. Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ) В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ). Чебышевская экстремальная задача. Пусть - выпуклый класс ФР на [0, ), системы u01 на [0, ) функций образуют T+-системы на [0, ). Положим (1in, ): , , - моментное пространство класса относительно системы . Пусть . Найти , где . 10. Первый подход заключается в урезании справа класса в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе х решается, и в переносе предельным переходом x решения на класс . Для любого x>0 введем подкласс класса : х={:x+0)=1}. Очевидно, для любых x1 (1) Предположим, что для любого x>0 х - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]). Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ), класс ФР вогнутых на [0, ),класс ФР на [0, ), удовлетворяющих при 0x Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение ( -замыкание множества XRn), где Ii- - множество всех ФР, имеющих индекс i- в . Кроме того, для этих классов справедливо включение , и следовательно, (2) Лемма 1. . Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества следует, что точка является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа >0, …, n>0, n+1>0 такие, что . Из (2) следует существование последовательностей , таких, что . Тогда для достаточно больших k выполнено равенство , где , . Следовательно, . Из леммы 1 следует, что для достаточно больших x. Так как класс x является индексационным на [0, x], то ([5]) , , где , ( ) – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе x. . Из (1) следует, что . Вид экстремальных ФР и для рассматриваемых классов имеется в [5]. 20. Второй подход продемонстрируем на примере класса 0 всех ФР на Лемма 2. Если u0, u1, …, un – T+-система на , то для всех i и j существуют пределы . Доказательство. Из определения T+-системы следует, что для произвольных i, j и чисел функции uj(t) и uj(t)+uj(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках. Пусть х – наибольшее решение уравнения uj(t)=0. Рассмотрим уравнение uj(t)+uj(t)=0, t>x. (3) Уравнение (ui(t)0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ) при любых . Пусть , . Допустим, что не существует, т. е. А Введем последовательности {ti}i1, {i}i1, удовлетворяющие условиям: а) tkk при k; б) , ; в) t1< Пусть c(A, B). Из-за непрерывности функции на (x, ) уравнение имеет бесконечное множество решений на (x, ). Выберем 0j0n так, чтобы для всех и обозначим . Пусть число t0 таково, что при t>t0. Рассмотрим функцию Пусть , , . Легко видеть, что системы v0, v1, …, vn и v0, v1, …, vn, являются T+-системами на [0, ). Предположим, что эти системы являются T+-системами также на [0, ], т. е. для любых 0t0 , , где . Через обозначим множество ФР 0, для которых интегралы , , абсолютно сходятся. Пусть - моментное пространство класса относительно системы . Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ) функций . Имеем , т. е. . Заметим, что отображение является взаимно однозначным, причем . Таким образом, - множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ). Пусть . Необходимо найти . (4) Из равенств (0U) следует, что задача (4) эквивалентна следующей. , (5) где - множество функций , удовлетворяющих равенствам , , . Таким образом, задача в классе 0 сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3]. Именно для любого , где - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n, - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n. , , где , , - величина скачка функции в точке . Литература Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973. Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988. Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990. Из произвольности следует утверждение теоремы 2.
Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах
Из (1) и (2) следует, что для .
Так как ФР имеет индекс (n+1)- в и , то
Найти
Из приведенных выше рассуждений следует, что