86207 (Теорія ймовірностей та математична статистика), страница 2

6.4) Обчислимо шукані, вибіркові, середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль :

3) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №2

“МЕТОД НАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ”

За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана, та:

1. Побудувати діаграму розсіювання.

2. Записати емпіричну функцію.

3. Записати систему нормальних рівнянь.

4. Скласти розрахункову таблицю.

5. Вирішити отриману систему й записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами.

Уважаючи, що залежність між змінними й має вигляд , знайти оцінки параметрів по наступних вибірках:

РОЗВ’ЯЗАННЯ

По вибірці спостережень побудуємо в системі координат и діаграму розсіювання, тобто побудуємо крапки:

Аналіз дослідницьких даних показує, що в якості емпіричної (підібраної) функції можна використати функцію . Необхідно знайти параметри а й b, для чого застосуємо МНК. Тоді для визначення параметрів а й b будемо мати систему нормальних рівнянь:

Для зручності обчислень складемо наступну розрахункову таблицю ( ):

Підставимо дані останнього рядка таблиці в нормальну систему рівнянь:

Вирішуючи систему, одержимо .

5) Підставляючи ці значення параметрів, одержимо емпіричну функцію:

6) РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №3

“ЗНАХОДЖЕННЯ ВИБІРКОВОГО КОЕФІЦІЕНТА КОРЕЛЯЦІЇ ТА ПРЯМИХ ЛІНІЙ РЕГРЕСІЇ”

Розподіл 40 заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу (тис.т) та затратами електроенергії на 1т. (тис. кВтгод) дано у таблиці:

За відповідним рівнянням регресії оцінити середні затрати електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., та порівняти їх з відповідним груповим середнім.

Надано таблицю, яка визначає деякий неперервний розподіл. За цим розподілом треба утворити дискретний розподіл, взявши значеннями і середини відповідних інтервалів і припускаючи, що між і існує лінійна кореляційна залежність, виконати таку роботу:

1. Обчислити коефіцієнт кореляції та проаналізувати тісноту та напрям зв'язку між і .

2. Скласти рівняння прямих регресії на та на .

3. Обчислити для даного значення однієї змінної відповідне значення іншої, використавши для цього одне з одержаних рівнянь регресії (підхоже) та порівняти це значення з відповідним груповим середнім (це останнє завдання подано разом з кореляційною таблицею).

РОЗВ’ЯЗАННЯ

1) Перейдемо до дискретних розподілів, тобто значення змінних Х и Y приймемо середини відповідних інтервалів:

2) Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження , для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах.

За хибний нуль узята варіанта , а за хибний нуль узята варіанта , які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних рядів.

3) У кожній клітці, у якій частота , записуємо в правому верхньому куті добуток частоти на .

4) Знаходимо суму всіх чисел, що коштують у правих кутах кліток одного рядка й записуємо її в клітку стовпця .

5) Множимо варіанту на й отриманий добуток записуємо в останню клітку того ж рядка.

6) З метою контролю аналогічні обчислення робимо по стовпцях, причому добуток записуємо в лівому нижньому куті кожної клітки із частотами , після чого їх складаємо й отриману суму записуємо в рядок .

Потім множимо варіанту и на й результат записуємо в останньому рядку.

7) Обчислюємо й :

8) Обчислюємо допоміжні величини й :

9) Обчислимо й :

10) Шуканий вибірковий коефіцієнт кореляції:

Тому що , цей зв'язок зворотній.

11) Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на Х має вигляд:

.

Обчислимо , , , :

12) Рівняння прямої лінії регресії Y на Х:

13) Рівняння прямої лінії регресії Х на Y:

14) За відповідним рівнянням регресії середнє значення затрат електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., складає:

Якщо скористатися безпосередньо таблицею, то

Як видно, узгодження розрахункового і спостережуваного умовних середніх – задовільне.