86159 (Типовой расчет)
Описание файла
Документ из архива "Типовой расчет", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86159"
Текст из документа "86159"
1. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим знаменатель на множители.
Значит,
Разложим дробь 
, используя метод неопределённых коэффициентов.
то есть:
, 
, 
Следовательно,
Тогда, исходный ряд примет вид:
Найдём n – первые членов ряда, записывая дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом:
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
Сложим n – первых членов ряда и найдём их сумму.
.
Тогда искомая сумма равна:
.
Ответ: 
.
2. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим дробь 
, используя метод неопределённых коэффициентов.
то есть:
, 
, 
, 
Следовательно,
Тогда, исходный ряд примет вид:
Найдём n – первых членов ряда 
, записывая дроби с одинаковыми знаменателями, друг под другом:
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
Сложим n – первых членов ряда
и найдём их сумму.
.
Тогда искомая сумма равна:
Ответ: 
.
3. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Так как 
, то рассмотрим ряд
, тогда
Воспользуемся признаком Даламбера.
, 
Тогда,
Так как 
, то ряд сходится. Значит, исходный ряд сходится по теореме о сравнении рядов.
Ответ: Ряд сходится.
4. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Преобразуем n – член этого ряда.
Сравним ряд 
с рядом 
, пользуясь предельным признаком сравнения:
, 
Тогда,
Поскольку А = 1 (0 тоже сходится.
Ответ: ряд сходится.
5. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера.
, 
Находим m по формуле:
Тогда:
Так как 
, то ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
6. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Рассмотрим ряд
.
Поскольку 
при 
:
Воспользуемся признаком Даламбера.
,
Находим m по формуле:
Тогда:
Так как 
, то ряд сходится.
Согласно признаку сравнения сходится и ряд .
Ответ: ряд сходится.
7. Вычислить сумму ряда с точностью α..
α. = 0,001.
Решение.
Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.
- числовой знакочередующейся.
Воспользуемся признаком Лейбница:
1) 
2) 
Следовательно, ряд условно сходится.
Проверим абсолютную сходимость ряда . Рассмотрим ряд 
.
Воспользуемся признаком Даламбера:
, 
Находим m по формуле:
Тогда:
Следовательно, ряд
сходится абсолютно.
Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:
а1 = -1,5 а2 = 0,1042 а3 = - 0,0016 а4 = 0,0000093
Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и 
. Требуемая точность достигнута.
Следовательно:
.
Ответ: 
.
8. Найти область сходимости функционального ряда
Решение.
Рассмотрим два интервала:
1) 
Проверим необходимый признак сходимости рядов: 
Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.
2) 
, то есть 
Проверим необходимый признак сходимости рядов:
Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.
При 
имеем:
то есть ряд расходится.
Окончательно, получаем ряд расходится при любом Х
Ответ:
9. Найти область сходимости функционального ряда
Решение.
Воспользуемся признаком Даламбера:
.
В данном примере:
,
.
Следовательно, ряд сходится при любом Х, т.е. 
Ответ: .
10. Найти сумму ряда:
Решение.
Найдём область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера:
то есть 
. Ряд сходится для тех значений Х, для которых 
, то есть 
, 
.
При 
ряд расходится, так как 
.
Следовательно, 
.
Перепишем данный ряд:
Обозначим сумму трёх рядов через 
, 
и 
соответственно, тогда
.
Определяем область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера:
1) 
:
то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
Следовательно, .
2) 
:
то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
Следовательно, .
3) 
:
то есть . Ряд сходится для тех значений Х, для которых , то есть , .
Следовательно, .
Найдём сумму ряда .
Это сумма бесконечной геометрической прогрессии: 
, тогда:
.
Найдём сумму ряда .
.
Обозначим сумму ряда в скобках за 
и проинтегрируем:
.
Продифференцируем 
:
.
Отсюда:
сумму ряда .
.
Обозначим сумму ряд в скобках за 
и проинтегрируем:
.
Тогда, продифференцируем 
:
Отсюда:
.
Следовательно:
для всех .
Ответ: 
для всех .
