86149 (Производная, дифференциал и интеграл), страница 3
Описание файла
Документ из архива "Производная, дифференциал и интеграл", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86149"
Текст 3 страницы из документа "86149"
.
Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой
Решение:
Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле 
. Тогда 
или 
. Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной 
в выражение и найдем нижний предел интегрирования новой переменной 
. Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной 
, найдем верхний предел интегрирования новой переменной 
. Тогда
6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
До сих пор рассматривались функции 
одной переменной х. В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие функции нескольких переменных.
Пусть каждому набору значений n переменных величин 
из множества , называемых независимыми переменными, по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных 
.
| z y O x M Рис. 3 | Функция одной переменной |
изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения функции 
представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оxy и тогда графиком функции является некоторая поверхность (рис. 3).Приведем примеры функций нескольких переменных.
1. Функция вида 
, где 
– постоянные числа, называется линейной или гиперплоскостью 
-мерном пространстве.
2. Функция вида 
, где 
– постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных 
.
При рассмотрении функций в n-мерном пространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3.
Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (
), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для , переносятся на случай 
. Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции 
в точке 
, если для любого числа 
можно найти число 
такое, что для всех точек 
из -окрестности точки М выполняется неравенство 
. Для обозначения предела функции в точке используется символика
.
Окрестностью точки называется круг, содержащий точку М.
В случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах функции в точке вдоль определенных линий.
Функция 
называется непрерывной в точке 
, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. 
. Геометрический смысл непрерывности функции при очевиден: график функции представляет собой в точке непрерывности 
сплошную поверхность в некоторой окрестности этой точки.
Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x2 + y2, x [20, 20], y [10, 10].
Решение.
Необходимое условие экстремума 
= 2х = 0, 
= 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (хст, уст) = (0, 0).
Вторые производные А = 
= 2; В = 
= 0; С = 
= 2. Так как AC B2 = 4 > 0, то в точке (0, 0) локальный минимум.
Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.
Литература:
-
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Джангар, 2000. 864 с.
-
Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с.
-
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.
