86149 (Производная, дифференциал и интеграл)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по высшей математике

Содержание:

1. Пределы последовательностей и функций 2

2. Производная и дифференциал 3

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4

4. Неопределенный интеграл 7

5. Определенный интеграл 9

6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений 11

Литература 12

1. Пределы последовательностей и функций

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: .

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такой номер , зависящий от выбранного , начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на , т. е.

при .

Если последовательность имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:

.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.

.

Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для всякого положительного числа можно указать другое положительное число (зависящее от выбора ) такое, что абсолютная величина разности будет меньше , когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля

, если при .

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей ». Второе определение носит название «на языке ».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что при всех справедливо неравенство : .

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

2. Производная и дифференциал

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается

.

Например, выражение следует понимать как производную функции в точке .

Определение производной можно записать в виде формулы

. (4.1)

Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.

В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к графику в точке .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.

Если функции дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы

.

Если функция имеет обратную функцию и в точке производная , то обратная функция дифференцируема в точке и или .

Если функция дифференцируема в точке и , то сложная функция также дифференцируема в и верна следующая формула

или .

Пример.

Найти производную функции

Решение:

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)

Функция , определенная во всех точках промежутка , называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,

если то при

– возрастающая, – убывающая.

Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего . Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).

Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , а значение называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум) (рис. 1).

у max у

min

f(х₀) f(х₀)

О х₀– х₀ х₀+ х О х₀– х₀ х₀+ х

Рис. 1

Из определений точек экстремума следует, что вне -окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.

Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.

Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.

2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения и .

3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.

5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.

6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример. Провести полное исследование функции

Решение:

Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:

1. найти область определения функции;

2. исследовать на четность и нечетность функцию;

3. найти точки разрыва функции;

4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;

5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;

7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

Областью определения функции является множество .

Так как и , то функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция претерпевает разрыв в точке .

Найдем асимптоты графиков функции:

а). Прямая является вертикальной асимптотой, т.к.

,

б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) ,

где ;