86033 (Линейная модель множественной регрессии), страница 2

Все исходные статистические данные за n - периодов времени делятся на две части:

обучающая выборка размерности n - j

экзаменующая выборка j

По данным обучающей выборки строится модель

С помощью модели осуществляется прогноз на j следующих периодов

Сравниваются прогнозные значения с реальными из экзаменующей выборки. Проводится анализ, оценивается точность

Проверка общего качества уравнения регрессии

Первый показатель - стандартная ошибка оценки Y.

Второй показатель - коэффициент детерминации, он характеризует долю общей вариации результирующего признака объясненную поведением выборочной функции регрессии.

При росте числа регрессоров значение R² возрастает, однако качество описание исходных данных регрессионного уравнения может при этом не улучшиться, чтобы устранить этот подобный эффект проводят корректировку этого показателя на число регрессоров.

Проверка статистической значимости коэффициентов

Рассчитываются ошибки коэффициентов регрессии, для этого строятся ковариационные матрицы оценок. На главной диагонали матрицы стоят квадраты ошибок коэффициентов.

k - количество наблюдений

n - количество регрессий

Рассчитывается t - статистики Стьюдента

Определяется табличное значение t - статистики при числе степеней свободы k-n-1 и уровня значимости α/2. Сравнивается табличное и расчетное значение и делается вывод.

Далее рассчитаем показатели для оценки качества уравнений:

По всей выборке Y=-152,2248+33,8819*X1-0,0526*X2

По 14 наблюдениям Y=295,8791+6,1272*X1+3,1641*X2

По 10 наблюдениям

Y=-309,1111+24,5941*X1+6,3460*X2

Проанализируем значения полученных показателей:

Значения R² и R² кор. близки к 1, т.е. качество подгонки хорошее.

Проверяя статистическую зависимость коэффициентов, проверяем гипотезу Н₀: а_j =0 (полученные коэффициенты статистически не значимы, их отличие от нуля случайно). Коэффициент а_j значим (Н₀ отвергается). Если |t_Aрасч|>tтабл. то гипотеза Н₀ отклоняется при значении а_j не случайно отличается от нуля и сформировался под влиянием систематически действующего фактора.

Зададимся уровнем значимости 0,01, тогда при числе степеней свободы k-n-1=20 (11, 7 соответственно), табличное значение t - статистики Стьюдента t_{0,005; 20}=2,845; t_{0,005; 11}=3, 206; t_{0,005; 7}=3,499.

Тогда при уровне значимости 0,01 (с вероятностью 0,99) статистически значимым являются (т.е. не случайно отличаются от 0, сформировались под влиянием систематически действующего фактора); в модели 1: а₀, а₂; в модели 2: а₀, а₂; в модели 3: а₀, а₁. (можно заметить, что для незначимых коэффициентов величина ошибки соответствующего коэффициента велика, превышает половину величины коэффициента).

Априорное утверждение относительно того, что модели 2 и 3 описывают исходные данные лучше, чем модель 1, подтвердилась. Действительно, значение R² и R²кор. моделей 2 и 3 выше, чем модели 1, а стандартные ошибки оценки ниже. Вывод о справедливости утверждения можно сделать в результате сравнения соответствующих графиков.

Задание 2

Привести пример по одному примеру, иллюстрирующему практическое использование моделей каждого из следующих типов:

ЛММР

РМ с переменной структурой (фиктивные переменные)

Нелинейные РМ

Модели временных рядов

Системы линейных одновременных уравнений

1. ЛММР

Предположим, что по ряду регионов множественная регрессия величины импорта на определенный товар у относительно отечественного производства х₁, изменения запасов х₂ и потребления на внутреннем рынке х₃ оказалась следующей

при этом среднее значение для рассматриваемых признаков составили

на основе данной информации могут быть найдены средние значения по совокупности показатели эластичности

т.е. с ростом величины отечественного производства на 1% размер импорта в среднем по совокупности регионов возрастет на 1,053% при неизменных запасах и потребления семей.

2. РМ с переменной структурой (фиктивные переменные)

Проанализируем зависимость цен двухкомнатной квартиры от ее полезной площади. При этом в модель могут быть введены фиктивные переменные, отражающие тип дома: "хрущевка", панельный кирпичный.

При использовании трех категорий домов вводятся две фиктивные переменные: z₁ и z₂.

Пусть переменная z₁ принимает значение 1 для панельного дома и 0 для всех типов домов; переменная z₂ принимает значение 1 для кирпичных домов и 0 для остальных; тогда переменные z₁ и z₂ принимают значение 0 для домов типа "хрущевки".

"хрущевки" =320+500*х

панельные =2520+500*х

кирпичные =1920+500*х

В рассматриваемом примере за базу сравнения цены взяты дома "хрущевки" для которых z₁= z₂=0

Параметр при z₁=2200 означает, что при одной и той же полезной площади квартиры цена ее в панельных домах в среднем на 2200 дол. выше чем в "хрущевках". Соответственно параметр при z₂ показывает, что в кирпичных домах цена выше в среднем на 1600дол. при неизменной величине полезной площади по сравнению указанным типам домов.

3. Нелинейные РМ

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:

y=а*х^b*

y - спрашиваемое количество,

x^b - цена,

- случайная ошибка.

4. Модели временных рядов

Имеются следующие данные о величине дохода на одного члена семьи и расходы на товар А.

Ежегодные абсолютные приросты определяем по формулам

Расчеты можно представить в виде таблицы

Значение у не имеют четко выраженной тенденции они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда, аналогичный вывод можно сделать и по ряду х.

Системы линейных одновременных уравнений

Модель вида