85994 (Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений), страница 2

1 -8 -2 -3 | -2

2 2 -1 7 | 7

1 1 2 1 | 1

Проведём следующие действия:

1. из второй строки вычтем первую строку (cтрока 2 – строка 1);

2. из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2 (cтрока 3–2 х строка 1)

3. из четвертой строки вычтем первую строку (cтрока 4 – строка 1). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 -6 -1 -4 | -3

0 6 1 5 | 5

0 3 3 0 | 0

Проведём следующие действия:

1. к третьей строке прибавим вторую строку (строка 3 + строка 2);

2. четвертую строку поделим на 3 (строка 4 = строка 4 / 3). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 -6 -1 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

0 1 1 0 | 0

Проведём следующие действия:

1. четвертую строку поставим на место второй строки;

2. третью строку поставим на место четвертой строки;

3. вторую строку поставим на место третьей строки. Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 -6 -1 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 6 (строка 3 + 6 × строка 2). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 0 5 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

Проведём следующие действия:

1. к третьей строке прибавим четвертую, умноженную на 4 (строка3 + 4×строка4);

2. из первой строки вычтем четвертую строку (строка 1 – строка 4);

3. третью строку поделим на 5 (строка 3 = строка 3 / 5). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

Проведём следующие действия:

1. из второй строки вычтем третью строку (строка 2 – строка 3);

2. к первой строке прибавим третью строку (строка 1 + строка 3). Получим:

1 -2 0 0 | 0

0 1 0 0 | -1

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

1. К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2 (строка 1 + 2 × строка 2). Получим:

1 0 0 0 | -2

0 1 0 0 | -1

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:

х₁ = -2

х₂ = -1

х₃ = 1

х₄ = 2

2. Преимущества и недостатки метода Гаусса

Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.

Достоинства метода:

1. менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;

2. позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

3. позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:

1. нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса–Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: );

2. определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера–Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);

3. численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).

Существуют и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недостатков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей.

Список источников

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Высшая математика для экономистов. - М.: Учеб. пособие, 1998.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Учеб. пособие, 1968.

3. Справочник по математике для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова // Инфра-М, Москва – 2009.