85840 (Свойства бинарных отношений), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Свойства бинарных отношений", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85840"
Текст 2 страницы из документа "85840"
…
[n-1] = {n-1, n+n-1, 2n+n-1, …}
2.1.2 Отношения порядка
Определение 9. Отношение на множестве называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами:
для всех (рефлексивность)
Если и , то (антисимметричность)
Если и , то (транзитивность)
Обычно отношение порядка обозначают знаком . Если для двух элементов и выполняется , то говорят, что "предшествует" . Как и для отношения эквивалентности, условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:
для всех (рефлексивность)
Если и , то (антисимметричность)
Если и , то (транзитивность)
Пример 3. Простым примером отношения порядка является отношение, задаваемое обычным неравенством на множестве вещественных чисел . Заметим, что для любых чисел и выполняется либо , либо , т.е. любые два числа сравнимы между собой. Такие отношения называются отношениями полного порядка.
Предикат данного отношения есть просто утверждение .
Пример 4. Рассмотрим на множестве всех сотрудников некоторого предприятия отношение, задаваемое следующим образом: сотрудник предшествует сотруднику тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
является начальником (не обязательно непосредственным)
Назовем такое отношение "быть начальником". Легко проверить, что отношение "быть начальником" является отношением порядка. Заметим, что в отличие от предыдущего примера, существуют такие пары сотрудников и , для которых не выполняется ни , ни (например, если и являются сослуживцами). Такие отношения, в которых есть несравнимые между собой элементы, называют отношениями частичного порядка.
2.1.3 Функциональное отношение
Определение 10. Отношение на декартовом произведении двух множеств называется функциональным отношением, если оно обладает следующим свойством:
Если и , то (однозначность функции).
Обычно, функциональное отношение обозначают в виде функциональной зависимости - тогда и только тогда, когда . Функциональные отношения (подмножества декартового произведения!) называют иначе графиком функции или графиком функциональной зависимости.
Предикат функционального отношения есть просто выражение функциональной зависимости .
2.1.4 Еще пример бинарного отношения
Пример 5. Пусть множество есть следующее множество молодых людей: {Вовочка, Петя, Маша, Лена}, причем известны следующие факты:
Вовочка любит Вовочку (эгоист).
Петя любит Машу (взаимно).
Маша любит Петю (взаимно).
Маша любит Машу (себя не забывает).
Лена любит Петю (несчастная любовь).
Информацию о взаимоотношения данных молодых людей можно описать бинарным отношением "любить", заданном на множестве . Это отношение можно описать несколькими способами.
Способ 1. Перечисление фактов в виде произвольного текста (как это сделано выше).
Способ 2. В виде графа взаимоотношений:
Рисунок 1 Граф взаимоотношений
Способ 3. При помощи матрицы взаимоотношений:
Таблица 1. Матрица взаимоотношений
Кого Кто | Вовочка | Петя | Маша | Лена |
Вовочка | Любит | |||
Петя | Любит | |||
Маша | Любит | Любит | ||
Лена | Любит |
Способ 4. При помощи таблицы фактов:
Таблица 2 Таблица фактов
Кто любит | Кого любят |
Вовочка | Вовочка |
Петя | Маша |
Маша | Петя |
Маша | Маша |
Лена | Петя |
С точки зрения реляционных баз данных наиболее предпочтительным является четвертый способ, т.к он допускает наиболее удобный способ хранения и манипулирования информацией. Действительно, перечисление фактов как текстовая форма хранения информации уместна для литературного произведения, но с трудом поддается алгоритмической обработке. Изображение в виде графа наглядно, и его удобно использовать как конечную форму представления информации для пользователя, но хранить данные в графическом виде неудобно. Матрица взаимоотношений уже больше соответствует требованиям информационной системы. Матрица удобна в обработке и компактно хранится. Но одно небольшое изменение, например, появился еще Вася и влюбился в несчастную Лену, требует перестройки всей матрицы, а именно, добавления и колонок, и столбцов. Таблица фактов свободна от всех этих недостатков - при добавлении новых действующих лиц просто добавляются новые строки.
Что касается предиката данного отношения, то он имеет следующий вид (дизъюнктивная нормальная форма):
R (x,y) = { (x = "Вовочка" AND y = "Вовочка") OR (x = "Петя" AND y = "Маша") OR (x = "Маша" AND y = "Петя") OR (x = "Маша" AND y = "Маша") OR (x = "Лена" AND y = "Петя") }
Замечание. Приведенное отношение не является ни транзитивным, ни симметричным или антисимметричным, ни рефлексивным, поэтому оно не является ни отношением эквивалентности, ни отношением порядка, ни каким-либо другим разумным отношением.
Замечание. Большая часть мировой литературы существует и имеет смысл лишь постольку, поскольку бинарное отношение "любить" не является отношением эквивалентности. В частности, по этой причине человечество не разбивается на классы эквивалентности взаимно любящих особей. Изучением характеристик данного отношения и соответствующего ему предиката занималось (и продолжает заниматься) большое количество экспертов, таких как Толстой Л.Н., Шекспир В. и др.
2.2 n-арные отношения (отношения степени n)
В математике n-арные отношения рассматриваются относительно редко, в отличие от баз данных, где наиболее важными являются именно отношения, заданные на декартовом произведении более чем двух множеств.
Пример 6. В некотором университете на математическом факультете учатся студенты Иванов, Петров и Сидоров. Лекции им читают преподаватели Пушников, Цыганов и Шарипов, причем известны следующие факты:
Пушников читает лекции по алгебре и базам данных, соответственно, 40 и 80 часов в семестр.
Цыганов читает лекции по геометрии, 50 часов в семестр.
Шарипов читает лекции по алгебре и геометрии, соответственно, 40 и 50 часов в семестр.
Студент Иванов посещает лекции по алгебре у Шарипова и по базам данных у Пушникова.
Студент Петров посещает лекции по алгебре у Пушникова и по геометрии у Цыганова.
Студент Сидоров посещает лекции по геометрии у Цыганова и по базам данных у Пушникова.
Для того чтобы формально описать данную ситуацию (например, в целях разработки информационной системы, учитывающей данные о ходе учебного процесса), введем три множества:
Множество преподавателей = {Пушников, Цыганов, Шарипов}.
Множество предметов = {Алгебра, Геометрия, Базы данных}.
Множество студентов = {Иванов, Петров, Сидоров}.
Имеющиеся факты можно разделить на две группы.1 группа (факты 1-3) - факты о преподавателях, 2 группа (факты 4-6) - факты о студентах.
Для того чтобы отразить факты 1-3 (характеризующие преподавателей и читаемые ими лекции), введем отношение на декартовом произведении , где - множество рациональных чисел. А именно, упорядоченная тройка тогда и только тогда, когда преподаватель читает лекции по предмету в количестве часов в семестр. Назовем такое отношение "Читает лекции по…". Множество кортежей, образующих отношение удобно представить в виде таблицы:
Таблица 3 Отношение "Читает лекции по…"
A (Преподаватель) | B (Предмет) | Q (Количество часов) |
Пушников | Алгебра | 40 |
Пушников | Базы данных | 80 |
Цыганов | Геометрия | 50 |
Шарипов | Алгебра | 40 |
Шарипов | Геометрия | 50 |
Для того чтобы отразить факты 4-6 (характеризующие посещение студентами лекций), введем отношение на декартовом произведении . Упорядоченная тройка тогда и только тогда, когда студент посещает лекции по предмету у преподавателя . Назовем это отношение "Посещать лекции". Его также представим в виде таблицы:
Таблица 4 Отношение "Посещать лекции"
C (студент) | B (предмет) | A (Преподаватель) |
Иванов | Алгебра | Шарипов |
Иванов | Базы данных | Пушников |
Петров | Алгебра | Пушников |
Петров | Геометрия | Цыганов |
Сидоров | Геометрия | Цыганов |
Сидоров | Базы данных | Пушников |
Рассмотрим отношение подробнее. Оно задано на декартовом произведении . Это произведение, содержащее 3*3*3=27 кортежей, можно назвать "Студенты-Лекции-Преподаватели". Множество представляет собой совокупность всех возможных вариантов посещения студентами лекций. Отношение же показывает текущее состояние учебного процесса. Очевидно, что отношение является изменяемым во времени отношением.
Итак, факты о ходе учебного процесса удалось отразить в виде двух отношений третьей степени (3-арных), а сами отношения изобразить в виде таблиц с тремя колонками.