85729 (Математика)

Канашский филиал

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

По математике

Вариант 3

Студента 1 курса экономического факультета

Шифр: 04653033 Учебная группа: 53-06

Работа выслана в Чувашский госуниверситет

«____» ____________2006 г.

Передана на кафедру «Экономики и управления»

Оценка___________ «___» _____________2006г.

Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич

Возвращена в деканат______________________

Математика

Вариант 3

Даны вершины А(х₁;у₁) ,В(х₂;у₂), С(х₃;у₃) треугольника. Требуется найти: 1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла ;

7)угол в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.

вариант 3: А(5;-1), В(1;-4), С(-4;8).

Решение:

1)Длина стороны ВС:

;

2)Длина стороны АВ:

;

Скалярное произведение векторов и

Угол :

cos = ; =arcos 0,2462=75,75 ;

3) Уравнение стороны ВС:

; ; ; ; ;

4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:

; ;

Условие перпендикулярности двух прямых:

; ;

; ; ; ;

5) Длина высоты, проведенной из вершины А:

6)

Уравнение прямой АС:

Уравнение биссектрисы внутреннего угла :

7) Угол в радианах с точностью до 0,01:

8) Уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны АС:

Уравнение стороны АВ:

Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.

Задание 13.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:

По условию задачи

Искомые прямые:

Задание 23.

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.

Решение:

По условию задачи:

- уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями

Задание 33.

Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой с окружностью и ось является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.

Решение.

Рассмотрим уравнение окружности:

Найдем точки пересечения окружности и прямой.

Координаты точек пересечения окружности и прямой т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид учитывая что найдем параметр p

Таким образом, уравнение параболы

Уравнение директрисы параболы:

Задание 43.

Дано уравнение параболы f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO₁Y уравнение параболы приняло вид X²=aY или Y²=aX. Построить обе системы координат и параболу.

Решение:

Задание 53

Даны вершины А₁(Х₁;Y₁;Z₁),. А₂(Х₂;Y₂;Z₂), А₃(Х₃;Y₃;Z₃), А₄(Х₄;Y₄;Z₄)

пирамиды. Требуется найти: 1) длину ребра А₁А₂; 2)Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂ А₃; 4) площадь грани А₁А₂ А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃; 7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃, и вершину А₁ пирамиды.

A₁ (3;5;4), А₂(5;8;3), А₃(1;9;9), A₄(6;4;8);

Решение:

1)

Длина ребра А₁А₂;

2)

Длина ребра А₁А₄;

Скалярное произведение векторов А₁А₂ и А₁А₄:

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄:

3) Уравнение грани А₁А₂ А₃:

Угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂ А₃:

4)Площадь грани А₁А₂А₃:

кв. ед.

5) Объем пирамиды:

куб. ед.

6) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃:

7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃, и вершину А₁ пирамиды.

Задание 63.

Определить вид поверхности, заданной уравнением f(x;y;z)=0, и показать её расположение относительно системы координат.

Решение:

Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси по оси

Задание 73.

Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

Решение:

Общее решение системы:

Задание 83.

Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Составим определитель из координат векторов и вычислим его:

Так как ,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора в этом базисе:

Итак

Проверка: