85630 (Изучение матриц)

₁. Дайте определение алгебраического дополнения элемента определителя. Приведите пример вычисления алгебраического дополнения элемента а₁₂ определителя 3-го порядка

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij определителя n‑го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j, где i+j – сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит элемент а_ij. Т.е. по определению А_ij=(-1)^i+j М_ij.

Для определителя найти алгебраические дополнения элементов а₁₂.

Для элемента а12 i=1, j=2 и i+j=3 число нечетное, отсюда

2. Разложите по теореме Лапласа определитель третьего порядка, записанный в общем виде по элементам второй строки

Вычисляем определитель путем разложения его по 2-ей строке

3. Какая система линейных алгебраических уравнений называется неоднородной? Какое решение имеет система неоднородных линейных уравнений, если главный определитель не равен нулю?

Система уравнений называется неоднородной, если хотя бы один свободный член уравнения не равен нулю.

Если главный определитель системы n уравнений с n неизвестными не равен нулю, то система имеет единственное решение, корни которого определяются по формулам:

, , …,

4. Дайте определение матрицы и ее размера. Приведите пример матриц размеров: 1х3, 3х4,1х1.

Матрицей называется таблица чисел или каких-либо других элементов, содержащая m строк и n столбцов.

Общий вид матрицы

Матрица имеет размер, который определяется ее количеством строк и столбцов, что записывается так – А_mn.

Например, числовая матрица размером 11 имеет вид , размером 13 имеет вид , размером 34 имеет вид .

5. Что такое союзная или присоединенная матрица? Приведите пример вычисления союзной матрицы для заданной.

Если для заданной квадратной матрицы А определить алгебраические дополнения всех ее элементов и затем транспонировать их, то полученная таким образом матрица будет называться союзной или присоединенной по отношению к матрице А и обозначаться символом Ã

Для матрицы найти Ã.

Составляем определитель матрицы А

Определяем алгебраические дополнения всех элементов определителя по формуле

; ;

.

; ;

.

; ;

.

Транспонируя полученные алгебраические дополнения, получаем союзную или присоединенную матрицу Ã по отношению заданной матрицы А.

6. Вычислить определитель 3‑го порядка, разложив его по 1‑й строке

7. Определить алгебраические дополнения элементов 2‑й строки определителя 3-го порядка

Для элемента а₂₁ i=2, j=1 и i+j=3 число нечетное, отсюда

Для элемента а₂₂ i=2, j=2 и i+j=4 число четное, отсюда

Для элемента а₂₃ i=2, j=3 и i+j=5 число нечетное, отсюда

8. Найти решение системы уравнений методом Крамера

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X_{1 - n} не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком – Δ. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый X_i = Δ_i / Δ, где Δ_i – это определитель составленный из коэффициентов при X_{1 - n}, только значения коэффициентов в i – ом стольбце заменены на значения за знаком равенства в сисетеме уравнений, а Δ – это главный определитель

Решение

Запишем систему в виде:

Главный определить

9. Выполните операцию произведения двух матриц АхВ

Решение

Найти матрицу |C| = |A| x |B|

Вычислим элементы матрицы |C|:

c_1,1 = a_1,1b_1,1+a_1,2b_2,1

c_1,2 = a_1,1b_1,2+a_1,2b_2,2

c_2,1 = a_2,1b_1,1+a_2,2b_2,1

c_2,2 = a_2,1b_1,2+a_2,2b_2,2

Результирующая матрица |С|:

10. Какие величины называются скалярными и векторными? Приведите примеры скалярных и векторных величин? Каково условие равенства векторов? Приведите пример сложения двух векторов по правилу параллелограмма и треугольника

Скалярной величиной или просто скаляром называется величина, которая при определённом выборе единицы измерения определяется числом (удельный вес, плотность, работа, мощность, температура и т.д.)

Вектор – направленный отрезок, имеющий определённую величину (скорость, ускорение, сила, напряженность магнитного и электрического поля и т.д.).

Скалярная величина – 10 минут, векторная – 100 км/ч.

Два вектора и равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль.

Правило треугольника

Для того чтобы сложить два вектора и нужно переместить вектор параллельно самому себе (рис. 1, б) так, чтобы его начало (точка B на рис. 1, а) совпадало с концом вектора (точка A на рис. 1, а). Тогда их суммой будет вектор (рис. 1, г), начало которого совпадает с началом вектора (точка D на рис. 1, в), а конец – с концом вектора (точка C на рис. 1, в).

а б

в г

Рис. 1.

Правило параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора и нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов и находились в одной точке (рис. 2, а). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора (рис. 2, б). Тогда их суммой будет вектор (рис. 2, в), начало которого совпадает с общим началом векторов (точка A на рис. 2, б), а конец – с противоположной вершиной параллелограмма (точка В на рис. 2, б).

а

б в

Рис. 2.

11. Напишите формулу разложения вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат

12. Как определяется вектор через координаты его начала и конца?

Пусть известны координаты начала вектора А(x₁, y₁, z₁) и его конца В(x₂, y₂, z₂). Точки А и В определяют радиус вектора

z

0

Рис. 3

Из треугольника ОАВ следует, что , отсюда .

Если обозначить через X, Y, Z – координаты вектора , т.е. =(X, Y, Z), то следует, что

X=х₂-х₁

Y=у₂-у₁

Z=z₂-z₁

Чтобы найти абсциссу вектора Х, необходимо из абсциссы конца вектора вычесть абсциссу начала вектора.

12. Какой вид имеет уравнение прямой в плоскости, проходящей через две точки?

13. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?

14. Напишите разложение вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат

A (-2, 4, 7) означает, что абсцисса точки A x=-2, ордината у=4, аппликата z=7.

15. Чему равно скалярное произведение векторов и ? Данные для варианта взять из таблицы 2.3

Т.к. векторы заданы в координатной форме, то по формуле имеем:

16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых l₁ и l₂ и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный d

Отсюда находим х = 6 – 3у

x = 3

Значит точка пересечения двух прямых A (3; 1)

По условия отрезок равен 3, значит координата точки B (3; 0).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А и В.