Аналитическая геометрия РК1 (Теор_АнГем_1_Сем)

Аналитическая геометрия РК1

Базовые теоретические вопросы

1. Равенство двух векторов: Вектора называются равными, если их модули равны, они коллинеарны (лежат на параллельных прямых или на одной прямой) и со направлены.

2. Вектора

   1. Сумма векторов: Вектор, построенный по правилу треугольника или параллелограмма.

   2. Произведение вектора на число —называется вектор с модулем , со направлен с , если и разнонаправлен, если

3. Коллинеарные и компланарные вектора:

   1. вектора коллинеарны, если лежат на параллельных прямых.

   2. Вектора компланарны, если они лежат на прямых, параллельных фокальной плоскости.

4. Линейная зависимость векторов: Вектора , если , при этом хотя бы одна , иначе система линейно НЕЗАВИСИМА.

5. Критерии ЛЗ: векторов: необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы линейно выражался через остальные векторы системы.

6. Базис V3 любая тройка некомпланарных векторов.

7. Теорема о разложении вектора по базису: Любой вектор пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

8. Ортогональная скалярная проекция вектора на направление: называется скалярная величина (вектора) на

9. Скалярное произведение векторов : действительное число, равное .

10. Свойство линейности скалярного произведения: скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов.

11. Формула для скалярного произведения векторов ортогональном базисе:

12. Формула для угла между векторами:

13. Тройки векторов:

    1. Тройка векторов называется левой, если поворот от вектора видимым с конца вектора по ходу часовой стрелки

    2. Тройка векторов называется правой, если поворот от вектора видимым с конца вектора против часовой стрелки.

14. Векторное произведение векторов : называется вектор длинна которого равна площади параллелограмма построенного на и направлен так, что базис имеет правую ориентацию.

15. Коммутативность скалярного произведения:

    1. Антикоммутативность векторного произведения:

16. Свойство линейности векторного произведения: .

17. Формула для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе: Пусть существует тогда (правая тройка)

18. Смешанное произведение векторов:

19. Свойство перестановки смешанного произведения:

20. Свойство линейности смешанного произведения: Смешанное произведение линейно по каждому своему аргументу.

21. Формула для вычисления смешанного произведения в правом ортонормирован-ном базисе: Пусть , тогда

22. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D =0, где ABC—координаты нормали.

    1. уравнение «в отрезках»: , где a,b,c – абсолютные величины длин отрезков, которые плоскость отсекает на Ox Oy Oz считая от 0.

23. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки:

24. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей:

    1. Две плоскости перпендикулярны ,

    2. Две плоскости параллельны: ,

25. Расстояние от точки до плоскости: Пусть есть точка а (x,y,z), тогда

26. Уравнение прямой в пространстве:

    1. Каноническое: Пусть , тогда

    2. Параметрическое: Пусть , тогда

27. Уравнение прямой через две точки A B:

28. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости: Необходимо и достаточно, чтобы .

29. Расстояние от точки А до прямой:

30. –