Ряды и интеграл Фурье

Ряды Фурье

Обобщенным рядом Фурье функции f(t) = L₂[a, b] по ортогональной системе функций {g_k(t)}, k = 1,2, ……n,….. называется функциональный ряд c₁g₁(t) + c₂g₂(t) + ……+ c_ng_n(t) + …. = , коэффициенты которого находятся по формулам: С_k = и его записывают: f(t) = .

Внимание! Функция f(t) L₂[-l, l] на всей числовой оси является периодической с периодом 2l: f(t+2l) = f(t) и может быть представлена рядом Фурье, если она удовлетворяет условиям Дирихле.

Важное значение для приложений имеют

а) ортогональная система тригонометрических функций:

{1, cosnt, sinnt} , nN на L₂ [- ], u  = , в которой ряд Фурье имеет вид

f(t) = + , где ,

, , n=1,2..

Коэффициенты вычислены с учетом нормирования ортогонального базиса.

Разложение функции в тригонометрический ряд называют спектральным гармоническим анализом, поскольку каждый Т-периодический сигнал f(t) полностью определяется наборами:

• {A_n}, nN (АЧХ – амплитудно-частотных характеристик)

• {_n}, nN (ФЧХ – фазо-частотных характеристик),

поэтому ряд Фурье в приложениях представляют в виде:

f(t) = + , где А_n = - амплитуда, n - частота,

_n = arctg - сдвиг соответствующей гармоники по фазе или

f(t) = + , где А_n = - амплитуда, n - частота,

_n = arctg - сдвиг соответствующей гармоники по фазе.

Замечание. 1. Если Т = 2, (= 2/Т=1), то ряд называют классическим рядом Фурье и он имеет вид:

f(t) = + .

2. Если Т = 2l, (= 2/Т= ), то ряд Фурье имеет вид:

f(t) = + .

б) ортонормированная система показательных функций:{ }, nZ, L₂[ , ]

Ряд Фурье называют рядом Фурье в комплексной форме и в ней он имеет вид: f(t) = , где С_n = , nZ.

Замечание. 1. Если Т = 2, (= 2/Т=1), то ряд Фурье в комплексной форме имеет вид: f(t) = , где С_n = , nZ.

2. Если Т = 2l, (= 2/Т= ), то ряд Фурье в комплексной форме имеет вид: f(t) = , С_n = , nZ.

в) частные случаи рядов Фурье

Если функция f(t) четная: f(-t)= f(t), то, b_n = 0 (n = 1, 2, …..) и ряд Фурье имеет вид:

f(t) = + , где

1) для t [-,) и Т= 2 , , n = 1, 2, ……

2) для t [- , ) и Т= 2 , , n = 1, 2, ……

Если функция f(t) нечетная f(-t)= - f(t), то ₀ = 0 и _n = 0 (n = 1, 2, …..) и ряд Фурье имеет вид: f(t) = , где

1) для t [-,) и Т = 2, , n = 1, 2, ……

2) для t [- , ) и Т= 2 , , n = 1, 2, ……

Интеграл Фурье

а) интеграл Фурье в комплексной форме по ортонормированной системе функций: { }:

- удовлетворяющая условиям Дирихле и абсолютно интегрируемая, то есть (является сходящимся) может быть представлена интегралом Фурье.

Если для выделить и Т - периодически продолженную представить рядом Фурье в комплексной форме:

, то обозначив , будем иметь , откуда следует, что и .

Переходя к пределу при , , получим .

Или , где

(сравните с рядом Фурье в комплексной форме и с его С_n )

Замечание. Смысл интегральной формулы Фурье в представлении непериодической функции суммой тригонометрических колебаний с непрерывной последовательностью частот ( ), то есть в составе непериодической функции присутствуют все частоты , определяющие амплитудные и фазовые характеристики.

Прямое и обратное преобразования Фурье для интеграла Фурье в комплексной форме:

и называется - “обратное преобразование Фурье” (от частоты ко времени), а

= называется - “прямое преобразование Фурье” (от времени к частоте), а её - амплитудный спектр.

б) интеграл Фурье в действительной форме по ортонормированной системе тригонометрических функций

В интеграле Фурье в комплексной форме, записав показательную функцию по формуле Эйлера, получим:

, тогда интеграл в действительной форме: .

Заметим, что и тогда интеграл в действительной форме: (I)

Теорема. Если f(t) абсолютно интегрируема < и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале [a; b], то интеграл Фурье сходится к f(t) в точках непрерывности, а в точке разрыва сходится к .

Различные формы записи интеграла Фурье в действительной форме

(II)

используя формулу тригонометрии

(III) , где

- базисные ортонормированные функции;

; - преобразования (коэффициенты) Фурье

(IV)

(V) , где - амплитуда,

- фаза

, где - амплитуда,

- фаза

Частные случаи интеграла Фурье

1) - в этом случае ,

при , где называется косинус преобразование Фурье (прямое преобразование от ), а

- обратное преобразование Фурье (от ).

2) - в этом случае ,

при , где называется синус преобразование Фурье (прямое преобразование от ), а

- обратное преобразование Фурье (от ).

3) Если и удовлетворяет условиям Дирихле, то можно получить разные интегралы Фурье, доопределив на

а) как четную функцию;

б) как нечетную функцию;

в) как функцию общего вида, взяв, например =0 для .

Связь прямого преобразования Фурье в комплексной форме

в обратном преобразовании

с косинус- и синус преобразованиями в действительной форме:

для общего вида.

Для четной функции: .

Для нечетной функции: .