Вопросы к экзамену за 2017 год

Аналитическая геометрия-2017. Первый семестр.

ВОПРОСЫ

L2

1) Векторное пространство над R. Определение и примеры.

2) Линейная комбинация векторов, понятие линейной зависимости

векторов, критерий линейной независимости векторов, L3 признак линейной

зависимости системы векторов.

3) Понятие базиса и размерности векторного пространства. Критерий

того, что набор векторов является базисом конечномерного векторного

пространства.

4) Линейно независимые и полные системы векторов и размерность в конечномерном векторном пространстве.

5) Понятие центра масс. Теорема Архимеда. Параллелограмм Вариньона.

Приложения к механике.

6) Понятия скалярного произведения и евклидова пространства.

Стандартное скалярное произведение. Стандартное евклидово

пространство Rⁿ. Длина вектора. L4 Теорема Пифагора, равенство

параллелограмма, неравенство Коши - Буняковского, неравенство

треугольника.

7) Ортогональные и ортонормальные векторы, линейная независимость

попарно ортогональных ненулевых векторов. Ортогонализация Грама-

Шмидта.

8) Метрическая форма и метрические коэффициенты. Скалярное

произведение и симметрические положительно определенные матрицы.

Косинус угла между векторами в произвольном евклидовом пространстве.

9) Аффинное пространство. Аффинная система координат. Расстояния,

примеры. Аффинное k-мерное подпространство, примеры. Прямая в

аффинном пространстве. Параметрическое и каноническое уравнения

прямой в аффинной системе координат.

10) Задача о делении направленного отрезка в заданном отношении.

Модель одномерной проективной прямой. L5 Теорема Чевы.

11) Изоморфизм векторных пространств. Изоморфность векторных

пространств как отношение эквивалентности. Координатный изоморфизм.

Изоморфизм двух векторных пространств одной и той же размерности.

12) Понятие изоморфизма аффинных пространств. Теорема об изоморфизме

аффинных пространств. Изоморфизм евклидовых пространств.

13) Понятие векторного подпространства, размерность векторного

подпространства. Понятие линейной оболочки подмножества векторного

пространства. Линейная оболочка как векторное подпространство

векторного пространства.

14) Пересечение и сумма векторных подпространств. Теорема о размерности суммы векторных пространств.

15) Прямая сумма векторных подпространств. Теорема о параллельном

проектировании. L6 Сумма подмножеств векторного пространства и ее

свойства.

16) Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом

пространстве. Свойства ортогонального дополнения.

17) Прямые на плоскости. Общее уравнение прямой. Теорема о взаимном

расположении 2-х прямых на плоскости.

18) Неразделенность точек плоскости прямой. Полуплоскости и полупространства. Критерий неразделенности точек плоскости прямой (точек пространства гиперплоскостью). Положительная и отрицательная нормали к

гиперплоскости.

L7

19) Пучок прямых на плоскости. L9 Пучок плоскостей в 3-мерном пространстве.

20) Прямоугольная система координат на плоскости. Угол между

векторами на плоскости. Координатные формулы для синуса и косинуса.

Формулы для косинуса и синуса разности. Формула для косинуса угла

между векторами как отношение их скалярного произведения к

произведению длин векторов. Формула для синуса угла между векторами

как отношение ориентированной площади параллелограмма, натянутого на

эти векторы, к произведению длин векторов.

22) Угол между пересекающимися прямыми на плоскости. Полярная

система координат. Угол между пересекающимися гиперплоскостями. Угол между прямой и плоскостью в стандартном евклидовом пространстве R³.

23) Понятие гиперплоскости, L8 общее уравнение гиперплоскости.

24) Параллельные аффинные подпространства. Параллельные гиперплоскости, теорема о взаимном расположении параллельных гиперплоскостей.

25) Плоскости в 3-мерном пространстве. Общее уравнение плоскости. Пересечение двух неколлинеарных плоскостей.

26) Критерий компланарности вектора и гиперплоскости. Теорема о взаимном расположении прямой и гиперплоскости.

27) Теорема о взаимном расположении двух прямых в 3-мерном пространстве.

28) Расстояние от точки до k-мерной плоскости как длина соответствующего перпендикуляра. Формула расстояния от точки до гиперплоскости.

L10

29) Формула объема k-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве. Площадь параллелограмма. Независимость формулы объема k-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве от порядка векторов, на которые натянут параллелепипед.

30) Матрица Грама и ее свойства.

31) Одноименные базисы и ориентация пространства. Понятие деформации базисов. L11 Деформация базисов как отношение эквивалентности.

32) Деформация и одноименность базисов. Понятие ориентации в терминах деформации базисов.

33) Ориентированный объем параллелепипеда. Смешанное произведение и его свойства.

34) Скобка Ли. Формальное векторное произведение и его свойства (бац минус цаб, тождество Якоби, и др.)

35) Векторное произведение в стандартном евклидовом пространстве R³. Взаимосвязь векторного и смешанного произведений. L12 Применения векторного произведения.

36) Аффинные замены координат и их свойства.

37) Ортогональные матрицы (различные эквивалентные определения). Ортогональные (2×2)-матрицы.

38) Геометрически независимые точки. L13 Барицентрические координаты. Симплексы.

39) Выпуклые множества и их свойства. Выпуклая оболочка множества.

40) Аналитическое определение аффинного преобразования. Аналитическая формула аффинного преобразования. Индуцированное *-преобразование и его свойства.

L14

41) Аффинные преобразования как группа.

42) Ортогональные преобразования стандартного евклидова пространства Rⁿ.

43) Движения стандартного евклидова пространства Rⁿ. Вращение. Геометрический смысл движений евклидовой плоскости.

44) Осевая симметрия. Геометрический смысл несобственных линейных ортогональных преобразований евклидовой плоскости.

L15

45) Собственные векторы и собственные числа линейных преобразований. Несобственное линейное ортогональное преобразование евклидовой плоскости в базисе из собственных векторов преобразования.

46) Геометрический смысл несобственных ортогональных преобразований евклидовой плоскости.

47) Существование инвариантного собственного вектора для матриц из SO(3). Собственные линейные ортогональные преобразования в 3-мерном евклидовом пространстве, их геометрическая интерпретация. «Нормальные» формы линейных ортогональных преобразований в стандартном 3-мерном евклидовом пространстве.

L16

48) Движения стандартного 3-мерного евклидового пространства, их геометрический смысл.

49) Несобственные ортогональные преобразования стандартного 3-мерного евклидового пространства, их геометрический смысл.

50) Изометрические преобразования стандартного 3-мерного евклидового пространства.

51) Растяжения и гомотетии. Растяжение как аффинное преобразование. Сжатие к прямой.