62203 (Анализ периодических и непериодических сигналов), страница 3

Предельные соотношения

Табл. 4 – Предельные соотношения

Расчет спектра амплитуд и фаз на выходе заданной цепи при действии периодического сигнала s₁(t).

По известной формуле из теории четырехполюсников находим передаточный коэффициент заданной цепи:

Находим комплексный передаточный коэффициент, заменяя р на j

Найдем спектральную плотность непериодического сигнала на входе(s₂(t) ) и выходе (s_2в(t)) цепи, соответствующему периодическому сигналу s₁(t) на протяжении одного периода.

Спектральная плотность непериодического сигнала s₂(t)(см. к.р.№1):

Спектральную плотность выходного сигнала s_2в(t) найдем по формуле:

Учитывая, что

и ,

а также

Учитывая, что: или , получаем:

Спектр амплитуд выходного периодического сигнала s_1В(t) :

Спектр фаз:

Табл. 5 – Спектры входного и выходного периодического сигналов

Построение спектров амплитуд и фаз входного(s₂(t) ) и выходного(s_2в(t)) непериодического сигналов

В соответствии с пунктом 2, имеем:

Амплитудные спектры

Учитываем, что при =0

Амплитуда – четная функция частоты

Фазные спектры

Где функция sign()=1 при >0 и sign()=-1 при <0

Фаза – нечетная функция частоты

Табл. 6 – Спектры входного и выходного непериодического сигналов

Рис. 15 – Амплитудный спектр входного и выходного периодического сигналов.

Рис. 16 – Фазовый спектр входного и выходного непериодического сигналов.

Представление входного непериодического s₂(t) с помощью единичной функции (t) (функции Хевисайда).

Входной сигнал является суммой функций Хевисайда, сдвинутых по временной оси и умноженных на амплитуду сигнала Е.

Рис. 17 – Функции Хевисайда

Динамическое представление отклика заданной цепи на действие сигнала s₂(t).

Заданная цепь является суммой интегрирующего и дифференцирующего звеньев.

Находим переходную характеристику заданной цепи

Так как переходная функция является откликом цепи на единичный сигнал, то воспользовавшись линейностью преобразований Лапласа, получаем отклик заданной цепи на непериодический сигнал s₂(t).

, где

Динамическое представление отклика:

Табл. 7 – Отклик заданной цепи на действие непериодического сигнала

X

Рис. 18 – Изображение входного непериодического сигнала s₂ и отклик цепи на него.

Выводы.

Анализ линейной цепи облегчается, тем, что передаточный коэффициент заданной цепи можно представить в виде линейной комбинации передаточных коэффициентов интегрирующей и дифференцирующей цепей.

В этом случае можно достаточно просто находить отклик цепи на сигнал, представляя его как линейную комбинацию откликов элементарных цепей.

При прохождении сигнала через линейную цепь нули и точки экстремума его амплитудного и фазного спектров не меняются. Меняется лишь само значение экстремумов амплитудного спектра.

Представление прямоугольно импульсных сигналов с помощью функции Хевисайда позволяет достаточно просто рассчитать отклик цепи, как линейную комбинацию откликов на единичную функцию включения.

Операторный метод и теория обобщенных функций дает достаточно мощный аппарат для исследования цепей и сигналов.

Контрольная работа №3

Расчет прохождения непериодического сигнала сложной формы через линейную цепь второго порядка

Дано:

Шифр входного сигнала s(t) ─ N₁= 4; N₂= 3 из табл. 2[1];

N₂= 3 – Соотношение параметров импульса : t₂ = 1,5t₁ из табл. 5[1];

N₁= 4 – Номер рисунка из табл. 5[1] – 4;

Рис. 19

Шифр цепи – N₃ N₄= 44 из табл. 3[1];

Номер рисунка из табл. 6[1] N₃ N₄= 44;

Рис. 20

Соотношение параметров цепи и сигнала:

Задание:

Рассчитать и построить в масштабе АЧХ и ФЧХ цепи

Рассчитать и построить в масштабе переходную и импульсную характеристики цепи;

Проверить выполнение предельных соотношений между частотными и импульсными характеристиками.

Дать поинтервальное аналитическое представление сигнала по его графику;

Рассчитать операторным методом или методом временного интегрирования отклик на выходе линейной цепи и дать его поинтервальное описание

По результатам вычислений изобразить отклик на выходе линейной цепи на отрезке времени от нуля до t_max, в три раза превышающем длительность воздействия сигнала. Сигнал воздействия и отклика совместить на одном рисунке.

Сделать выводы ( оценка операторного и временного методов применительно к решаемой задаче, физическая интерпретация полученных результатов).

Расчет частотных характеристик линейной цепи второго порядка

Для того, чтобы найти операторную передаточную функцию, преобразуем схему

Рис. 21

Согласно известной из теоретической электротехники формуле переходим от треугольника к эквивалентной звезде:

Рис. 22

На холостом ходу:

Рис. 23

Находим операторный передаточный коэффициент:

Находим корни знаменателя К(р)

Получаем

Получаем комплексный передаточный коэффициент заменяя р на j

АЧХ цепи:

ФЧХ цепи:

Табл. 8 – Расчет АЧХ и ФЧХ цепи

Рис. 24 – АЧХ цепи второго порядка

Рис. 25 – ФЧХ цепи второго порядка

Расчет временных характеристик линейной цепи второго порядка

Временные характеристики находим по обратному преобразованию Лапласа, используя операторный передаточный коэффициент. Операторный коэффициент является суммой коэффициентов интегрирующих звеньев вида

Импульсная характеристика интегрирующей цепи (см. к.р.№2)

Переходная характеристика интегрирующей цепи (см. к.р.№2)

Импульсная характеристика заданной цепи:

Переходная характеристика заданной цепи:

Табл. 9 – Расчет временных характеристик

Рис. 26 – Импульсная характеристика цепи

Рис. 27 – Переходная характеристика цепи

Предельные соотношения между частотными и временными характеристиками.

Поинтервальное описание входного сигнала

Обозначим длительность сигнала – Т.

Тогда

Рис. 28 – Входной сигнал

На интервале t=[0; 0,4T]

На интервале t=[0,4T; 0,6T]

На интервале t=[0,6T; T]

Используя функцию включения можно записать представление входного сигнала в виде:

Расчет отклика на выходе цепи

Рассчитываем отклик на выходе методом временного интегрирования, используя интеграл Дюамеля:

На интервале t=[0; 0,4T]

На интервале t=[0,4T; 0,6T]

На интервале t=[0,6T; T]

На интервале

t=[T; ] , где:

Найдем отклик операторным методом. Входной сигнал равен:

.

Пользуясь преобразованием Лапласа

,

Обратное преобразование по Лапласу выражений вида:

Обратное преобразование по Лапласу выходного сигнала:

Окончательно:

На интервале t=[0; 0,4T]

На интервале t=[0,4T; 0,6T]

На интервале t=[0,6T; T]

На интервале t=[T; ]

,

Построение графика отклика сигнала на выходе цепи

Табл. 10 – Расчет отклика сигнала

Рис. 29 – Входной и выходной сигналы

Выводы

Проделанная работа показывает, что с помощью функций Хевисайда можно представлять не только прямоугольные импульсы, но и сигналы более сложной формы. В этом случае можно перейти от кусочной аппроксимации к аналитическому изображению сигналов с точки зрения теории обобщенных функций.

Сравнение временного и операторного методов для нахождения отклика заданной цепи говорит в пользу последнего, так как операторный метод позволяет более полно охватывать процесс вычислений и является более емким.

Отклик на входной сигнал данной цепи второго порядка является апериодическим, так как корни знаменателя операторного передаточного коэффициента действительные.

По графику отклика можно судить об интегрирующей природе цепи.