характеризует силу дисперсионных искажений;

характеризует силу нелинейных искажений;

коэффициент потерь излучения в световоде;

медленно изменяющаяся амплитуда огибающей импульса.

Первый и второй члены в правой части уравнения (3.1) описывают соответственно действие дисперсии и нелинейности на распространение импульсов в волокне. Приведенное выше уравнение (3.1) получено в предположении, что при распространении светового импульса по световоду пространственное распределение поля не зависит от z. Изменениям за счет дисперсии и нелинейности подвержена медленно меняющаяся (по сравнению с периодом световой волны) огибающая . Это предположение хорошо согласуется с экспериментом. В зависимости от начальной длительности и пиковой мощности импульса в его эволюции вдоль волокна преобладают либо дисперсионные, либо нелинейные эффекты [23].

Полезно ввести две характерные длины: дисперсионную длину , формула (3.2), и нелинейную длину , формула (3.3). Дисперсионная длина и нелинейная длина характеризуют длину, на которой дисперсионные или нелинейные эффекты становятся важными для эволюции импульса вдоль длины световода [6].

(3.2)

где: начальная длительность.

Дисперсионная длина это длина, на которой длительность первоначального импульса за счет дисперсии увеличивается в раз. Указанное уширение происходит с импульсом гауссовой формы без частотной модуляции. Для других форм импульсов так можно оценивать только примерное уширение [23].

(3.3)

где: пиковая мощность начального импульса.

Нелинейная длина – это длина, на которой максимальное изменение фазы световой волны равно 1 (приведенные соотношения верны для исходного импульса гауссовой формы с нулевой частотной модуляцией) [23].

Введем нормировку времени на начальную длительность импульса:

(3.4)

Так же можно ввести нормированную амплитуду U, используя определение

(3.5)

Экспонента в уравнении (3.5) учитывает оптические потери в световоде, что позволяет не использовать последний член в уравнение (3.1) [10].

Из уравнений (3.1), (3.4) и (3.5) следует, что нормированная амплитуда удовлетворяет следующему уравнению распространения:

(3.6)

где в зависимости от знака дисперсии групповых скоростей .

Учтем выводы других авторов [23], что дисперсия приводит к увеличению длительности импульса, распространяющегося по световоду, при этом спектр сигнала не изменяется. А при воздействии нелинейного преломления изменяется спектр сигнала, форма же импульса остается неизменной во времени. Так как для определения длины регенерационного участка, нам интересно именно уширение импульса, то будем рассматривать распространение импульсов в линейной дисперсионной среде, то есть в уравнение (3.1).

Если определить в соответствии с уравнением (3.5), то будет удовлетворять следующему дифференциальному уравнению в частных производных:

(3.7)

Это уравнение совпадает с уравнением, которое описывает дифракцию света в поперечном направлении в одномерном случае. В самом деле, эффекты во времени, связанные с дисперсией, имеют близкие аналогии с пространственными дифракционными эффектами [6].

Уравнение (3.7) легко решить, используя Фурье-метод. Если Фурье-преобразование , такое, что

, (3.8)

то оно удовлетворяет простому дифференциальному уравнению

, (3.9)

решение, которого записывается в виде

. (3.10)

Уравнение (3.10) показывает, что дисперсия групповых скоростей изменяет фазу в каждой спектральной компоненте импульса на величину, зависящую от частоты и длины распространения. Хотя такие изменения не влияют на спектр импульса, они могут изменить форму импульса. Подставляя уравнение (3.10) в уравнение (3.8), получаем общее решение уравнения (3.7) [6]:

(3.11)

_где: Фурье-преобразование начального импульса при z = 0 [6]:

(3.12)

Для простоты рассмотрим случай гауссового импульса, имеющего вначале вид:

(3.13)

где: амплитуда лазерного импульса.

Внешний вид гауссового сигнала представлен на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1  Вид гауссового сигнала

Гауссовый импульс сохраняет свою форму при движении импульса по волокну, но его ширина увеличивается, согласно формуле (3.14) [6]:

(3.14)

Так же следует отметить, что хотя импульс первоначально был без фазовой модуляции, передающийся импульс с расстоянием становиться фазово-модулированным. Это связано с тем, что частота изменяется линейно по импульсу, то есть волокно накладывает линейно-частотную модуляцию на импульс [6].

Рассмотрим теперь фазово-модулированный гауссовый импульс. Фазово-модулированный импульс также ещё называют чирпированным (от англ. chirp). Тогда начальное поле записывается в виде [24]:

(3.15)

где: параметр модуляции, определяющий линейный чирп и характеризующий скорость изменения частоты.

По сравнению с гауссовым импульсом без фазовой модуляции, фазово-модулированный импульс сохраняет гауссов вид, максимальная спектральная плотность уменьшается, а ширина спектра увеличивается (независимо от знака ) и зависит уже не только от длительности импульса, но также и от параметра фазовой модуляции [24].

Внешний вид гауссового с фазовой модуляцией и без фазовой модуляции представлен на рисунке 3.2.

U(t)

U(t)

a)

b)

Рисунок 3.2  Внешний вид гауссового импульса а) – без фазовой модуляции, b) – с фазовой модуляцией

Длительность импульса после прохождения длины z световода связана с начальной длительностью соотношением (3.16):

(3.16)

Из этого уравнения видно, что уширение зависит от дисперсии и параметра частотной модуляции [6].

При этом знак частотной модуляции импульса будет влиять на скорость уширения импульса в волокне. Дело в том, что дисперсия, заключающаяся в различной скорости разных спектральных компонент, сама приводит к частотной модуляции импульса. Поэтому, если знак исходной модуляции импульса совпадает со знаком модуляции, создаваемого дисперсией, то импульс расширяется быстрее. Если знак модуляции исходного импульса противоположен знаку модуляции дисперсии, то импульс на начальном этапе даже уменьшает свою длительность [23].

Импульсы, излучаемые многими лазерами, можно приближенно считать гауссовыми, тем не менее, часто бывает необходимо рассмотреть другие формы импульсов.

До сих пор рассматривались импульсы с относительно широкими передним и задним фронтами. Но, как и можно было ожидать, дисперсионное уширение оказалось чувствительным к крутизне фронтов импульса. Вообще говоря, импульс с более крутыми передним и задним фронтами уширяется быстрее просто потому, что такой импульс имеет более широкий начальный спектр [6].

Рассмотрим импульс, больше похожий на тот, что используется в цифровых системах передачи, т. е. имеющий линейную модуляцию, а также достаточно длинный во времени по отношению к длительности фронтов. Чтобы не выполнять кусочную аппроксимацию классического трапецеидального меандра, воспользуемся супергауссовой формой, похожей на меандровый импульс [10]:

(3.17)

где: степень крутизны фронтов.

Внешний вид импульса супергауссовой формы представлен на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3  Внешний вид импульса супергауссовой формы

Для таких импульсов уширение определяется следующей формулой [6].

(3.18)

где: гамма-функция.

Случай соответствует простому гауссовому импульсу с линейной модуляцией. При больших форма импульса приближается к прямоугольной с резким передним и задним фронтами. В случае еще большего увеличения крутизны фронтов импульс искажается быстрее – при прохождении меньшего расстояния [10].

1. Разработка приложения в среде Matlab

Для создания программы был выбран интуитивно понятный графический интерфейс пользователя, созданный с помощью инструментального средства GUIDE среды Matlab.

Matlab – это система инженерных и научных вычислений. Она обеспечивает математические вычисления, визуализацию научной графики программирование и моделирование процессов с использованием интуитивно понятной среды окружения, когда задачи и их решения могут быть представлены в нотации, близкой к математической [25].

В принципе существует две возможности создания графического интерфейса средствами Matlab. Первый вариант – использование специального инструмента визуального проектирования интерфейса (GUIDE). Второй способ – ручное программирование пользовательского интерфейса "с нуля" предоставляет большие возможности по тонкой настройке интерфейса, но сложен для новичков. Пользовательский графический интерфейс в режиме по умолчанию представлен двумя файлами– один собственно файл интерфейса с расширением .fig, второй файл программы с расширением .m [26].

Язык Matlab является высокоуровневым интерпретируемым языком программирования, который включает основанные на матрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования [27].

Несмотря на то, что изначально Matlab предназначалась исключительно для вычислений, в дополнение к усовершенствованным вычислительным средствам было приобретено ядро символьных преобразований, а также появились библиотеки, позволившие Matlab расширить области применения и обеспечившие уникальные для математических пакетов функции.

Для Matlab имеется возможность создавать специальные наборы инструментов, расширяющих его функциональность. Наборы инструментов представляют собой коллекции функций, написанных на языке Matlab для решения специализированных задач [28].