Задача 8
Описание файла
Документ из архива "Задача 8", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая механика" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Задача 8"
Текст из документа "Задача 8"
Задача 8. Найти флуктуации величин
Решение. Рассмотрим замкнутую статистическую систему. Пусть в ней находится малая статистическая подсистема. В равновесии полную энтропию всей системы обозначим S0. Она является функцией полной энергии всей системы . При малом отклонении подсистемы от равновесия (флуктуации) полная энтропия меняется на малую величину . При этом процессе идет обмен энергией между малой подсистемой и термостатом (оставшаяся часть всей системы). Таким образом,
Здесь величина относится к малой подсистеме. По определению , где - появившееся при флуктуации число состояний, w – вероятность указанной флуктуации, А – коэффициент пропорциональности. Итак,
Здесь мы опустили индекс 0, так как ввиду малости флуктуации значения температуры и давления для подсистемы и термостата совпадают друг с другом.
Рассматривая малое изменение энергии подсистемы как функцию ее энтропии и объема, разложим это изменение в ряд Тейлора
Первые два слагаемых являются знакопеременными при флуктуациях, и их можно опустить при усреднении по флуктуациям. Следовательно,
Перепишем это выражение в виде
Так как
то окончательно получим общую формулу для вероятности флуктуации
Выберем в качестве независимых переменных V, T. Тогда
так как
Далее, аналогично
Подставляя эти соотношения в (1), находим
Так как произведение флуктуаций объема и температуры выпало из этого соотношения, то это означает, что указанные флуктуации являются независимыми друг от друга, т.е.
Каждая из флуктуаций описывается формулой Гаусса
Следовательно, находим:
Выберем теперь в качестве независимых переменных в (1) давление и энтропию. Тогда
Далее,
Так как дифференциал энтальпии равен , то
Следовательно,
Подставляя эти соотношения в (1), находим
Видно, что флуктуации давления и энтропии являются независимыми друг от друга. В соответствии с распределением Гаусса (3) отсюда находим
Далее найдем флуктуацию энергии. Имеем в переменных V,T (используя (2)):
Возводя в квадрат и усредняя, используем найденные выше для флуктуаций объема и температуры выражения (4)
Далее, найдем флуктуацию Имеем в переменных V,T
На основе (4) получим
Далее, найдем флуктуацию На основе (4) имеем
Найдем теперь флуктуацию Имеем в переменных V,T
На основе (4) имеем
Наконец, найдем флуктуацию Имеем в переменных V,T
Следовательно,
Подставляя (4) и учитывая (2), находим