Задача 12

Задача 12. Найти спиновую магнитную восприимчивость электронного газа (парамагнетизм Паули свободных электронов в металле) в слабом магнитном поле. Рассмотреть случаи низких и высоких температур.

Решение. Рассмотрим сначала случай низких температур. В магнитном поле с напряженностью Н энергия электрона приобретает вид - магнетон Бора. Намагниченность (магнитный момент единицы объема среды) имеет вид

. (1)

Здесь

(2)

- плотность состояний (см. задачу 11). По сравнению с задачей 11 она уменьшена в два раза, чтобы учесть различие в состояниях, когда спин электрона направлена вдоль магнитного поля и против него. Величина представляет собой концентрацию частиц, а

(3)

- химический потенциал при нулевой температуре (энергия Ферми). В задаче 11 было найдено, что при малых температурах химический потенциал имеет вид

(4)

Для упрощения выражения (1) при низких температурах используем соотношение (4) из задачи 11:

(5)

В данном случае Получаем:

(6)

Учитывая (4) в первом слагаемом этого выражения, находим парамагнитную восприимчивость

(7)

Теперь обратимся к случаю промежуточных температур. Выражение (1) можно записать в виде

(8)

Ошибка от такой замены по сравнению с точным выражением (1) квадратична по магнитному полю. В слабом магнитном поле отсюда получаем

(9)

Здесь плотность состояний определяется соотношением (2). Следовательно, можно написать общее выражение для парамагнитной восприимчивости

(10)

Здесь введено обозначение для парамагнитной восприимчивости при нулевой температуре, которое было получено выше (см. выражение (7)):

(11)

Число частиц в единице объема записывается как

(12)

Отсюда получим

. (13)

Из (10) и (13) получим

(14)

Уравнения (13) и (14) связаны друг с другом неявной переменной x. На рис. 1 представлена универсальная зависимость безразмерной величины от безразмерной температуры

Рис. 1

Из рис. 1 следует, что магнитная восприимчивость монотонно убывает с увеличением температуры, начиная со значения, равного величине (11) при нулевой температуре.

Далее обсудим поведение магнитной восприимчивости в классическом пределе В этом случае распределение Ферми можно заменить на распределение Больцмана. Намагниченность приобретает вид

Следовательно, классическая парамагнитная восприимчивость равна

(15)

Проверим, что при высоких температурах кривая рис. 1 представляет собой гиперболу. Из (13) и (14) следует, что

(16)

На рис. 2 представлена зависимость безразмерной величины (16) от безразмерной температуры (13) при (классический предел).

Рис. 2

Видно, что кривая близка к значению 1 в соответствии с классической формулой (15).