Задача 28

Задача 28. Определить энтропию газа N >> 1 невзаимодействующих осцилляторов с частотой при заданной энергии Е. Получить связь между энергией и температурой системы Т.

Решение. Квантовая энергия гармонического осциллятора равна Энергию N осцилляторов запишем в виде Здесь . Вычислим число состояний при заданной энергии. С математической точки зрения нужно разместить М шаров по N ящикам. На рис. 1 показана картина такого размещения

Р ис. 1

Число перегородок между ящиками равно N – 1. Число шаров вместе с числом перегородок равно M + N – 1. Число их перестановок друг с другом равно (M + N – 1)!. Так как все шары одинаковы и все перегородки одинаковы, то число различных состояний получится, если разделить указанное число перестановок на M! и на (N – 1)!. Таким образом, число различных состояний равно

.

Энтропия равна . Используя формулу Стирлинга для большого числа частиц, находим

или

. (1)

Определяем температуру из соотношения

Отсюда окончательно получим связь между энергией и температурой

. (2)

Она соответствует распределению Бозе. При высоких температурах отсюда имеем классическое соотношение , т.е. на одну колебательную степень свободы приходится энергия, равная Т.