mei_toe_rz4_shem2_0lh (Задание 4 решённое (Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами))

НИУ МЭИ

Решебник расчетного задания №4

«Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами»

Расчетное задание №4

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Схема 2

Дано:

Решение:

Цепь содержит источники постоянного напряжения и постоянного тока Е и J. Предполагается, что до замыкания (или размыкания) первого ключа цепь находится в установившемся режиме.

1. Рассчитать классическим методом ток i(t) на двух этапах, соответствующих последовательному замыканию (или размыканию) двух ключей.

1-я коммутация:

Расчет режима до коммутации (при )

по независимым начальным условиям:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Поскольку корни комплексные и сопряженные, то переходный процесс будет колебательный.

Здесь

Запишем свободную составляющую тока i

,где - угловая частота свободных колебаний;

- коэффициент затухания;

- начальная фаза

Расчет установившегося режима после коммутации.

Свободные составляющие токов и напряжений при найдем как разницу между переходными и принужденными величинами.

Определим постоянные интегрирования по начальным условиям

Подставим в эти уравнения

Из второго уравнения

тогда

Искомый ток найдем как сумму его принужденной и свободной составляющих

2-я коммутация:

2-я коммутация происходит через интервал времени t₁ после 1-й коммутации.

При возникновении колебательного процесса после 1-й коммутации:

, где - период свободных колебаний

При расчете 2-й коммутации в цепи момент времени t₁ примем за начало отсчета ( )

Расчет режима до коммутации (при )

по независимым начальным условиям:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Т.к. получили один действительный отрицательный корень, то переходный процесс будет апериодическим.

Запишем свободную составляющую тока i

, где – постоянная интегрирования;

Расчет установившегося режима после коммутации.

Свободную составляющую при найдем как разницу между переходной и принужденной величинами.

Определим постоянные интегрирования по начальным условиям

Подставим в это уравнение

Искомый ток найдем как сумму его принужденной и свободной составляющих:

2. Рассчитать тот же ток i(t) операторным методом.

1-я коммутация:

Составим эквивалентную схему для изображений для момента времени

Начальные условия:

Найдем изображение тока I(p) cоставив систему уравнений по 1-у и 2-у законам Кирхгофа:

Из 2-го уравнения системы:

Из 3-го уравнения системы:

Подставим найденные выражения в 1-е уравнение системы:

Найдем корни уравнения

Поскольку корни комплексные и сопряженные, то переходный процесс будет колебательный.

Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся формулой разложения для простых корней.

в соответствии с этой формулой ток i(t) будет равен:

Видно, что полученное выражение для тока i(t), хорошо совпадает с выражением полученным классическим методом.

2-я коммутация:

Составим эквивалентную схему для изображений для момента времени

Начальные условия:

Найдем изображение тока I(p) составив уравнение по 2-у закону Кирхгофа:

Найдем корни уравнения

Т.к. получили один действительный отрицательный корень, то переходный процесс будет апериодическим.

Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся формулой разложения для простых корней.

в соответствии с этой формулой ток i(t) будет равен:

Видно, что полученное выражение для тока i(t)

хорошо совпадает с выражением полученным классическим методом.

3. Построить график зависимости i(t).

По найденным выражениям построим в одних осях координат график i₁(t) после каждой коммутации. Для построения используем математический пакет MathCad: