А.И. Галочкин - Вопросы к экзамену

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

2 поток, 4 курс, 7-й семестр

лектор А.И. Галочкин

1. Простейшие свойства делимости. НОД(a,b)=d, представление .

Теорема о существовании и единственности разложения чисел на простые сомножители. Бесконечность множе­ства простых чисел.

1. Лемма о равенстве верхних и нижних пределов функций и .

Связь между асимптотическим поведением

функции Чебышева и функции .

1. Оценки Чебышева функции . Оценки n-го простого числа. Расходимость ряда.

2. Аналитичность -функции Римана в области .

Разложение в ряд Дирихле ее логарифмической производной.

Представление -функции в виде бесконечного произведения.

1. Преобразования Абеля в интегральной форме.

Аналитическое продолжение -функции в область .

1. Отсутствие нулей -функции в области .

2. Оценки функций в области .

3. Вывод формулы, выражающей функцию через -функцию.

4. Сдвиг контура интегрирования и выделение главного члена в интегральной формуле для функции .

5. Доказательство асимптотического закона распределения простых чи­сел.

Асимптотическая формула n-го простого числа.

1. Простейшие свойства сравнений. Группа . Теорема Эйлера.

Малая теорема Ферма. Элементарные доказательства бесконечности множе­ства

простых чисел в прогрессиях вида .

1. Простейшие свойства мультипликативных функций. Явная формула для значений

функции Эйлера, мультипликативность этой функции.

1. Простейшие свойства групповых характеров. Построение характеров для группы .

Вычисление сумм . Определе­ние и свойства числовых характеров.

1. Аналитичность функции Дирихле в области . Разложение в
   ряд Дирихле ее логарифмической производной. Отсутствие нулей -функции
   в области . Представление -функции в виде бесконечного произведения.
   Аналитическое продолжение функции в область .

2. Теорема о почленном дифференцировании ряда Дирихле.

Область ана­литичности функции при .

1. Теорема об области сходимости ряда Дирихле с неотрицательными коэффициентами.

2. Неравенство для действительного характера .

3. Неравенство . Доказательство теоремы Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии.

4. ?

5. Свойства минимального многочлена алгебраического числа.

Целые алгебраические числа.

Лемма Гаусса и ее следствия, относящиеся к целым алгебраическим числам.

1. Формулировка основной теоремы о симметрических многочленах. Теорема о симметрическом многочлене от нескольких систем сопряженных алгебраических чисел. Поле алгебраических чисел и кольцо целых алгебраических чисел.

Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел.

1. Алгебраическое числовое поле конечной степени. Каноническая форма представления его элементов. Теорема о примитивном элементе.

2. Две теоремы о приближении действительных чисел рациональными дробями.

3. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел. Построение трансцендентных чисел при помощи теоремы Лиувилля.

4. Теорема Бореля о характере приближений "почти всех" действительных чисел.

5. Иррациональность и трансцендентность числа .

6. Иррациональность числа .

7. Обобщение теоремы Лиувилля на многочлены от нескольких алгебраи­ческих чисел.

8. Лемма Зигеля об оценках решений систем линейных уравнений с целыми коэффициентами.

9. Формулировка теоремы Линдемана. Ее следствия. Построение вспомо­гательной функции для доказательства теоремы Линдемана, оценки ее порядка нуля.

10. Оценки вспомогательной функции и завершение доказательства теоремы Линдемана.

Ее связь с проблемой квадратуры круга.

1. Седьмая проблема Гильберта. Формулировка теоремы Гельфонда - Шнейдера.

Ее следствия. Построение вспомогательной функции для доказа­тельства

теоремы Гельфонда - Шнейдера, оценки ее порядка нуля.

1. Оценки вспомогательной функции и завершение доказательства

теоремы Гельфонда - Шнейдера.