Экзаменационные вопросы по курсу функционального анализа

Экзаменационная программа по курсу функционального анализа

Весенний семестр 2004 г., первый поток

1. Связь между ядром линейного непрерывного оператора в гильбертовом пространстве и образом его сопряжённого.

2. Замкнутость образа оператора, являющегося суммой единичного и компактного.

3. Первая теорема Фредгольма.

4. Альтернатива Фредгольма.

5. Третья теорема Фредгольма.

6. Теорема Рисса-Фишера о спектра компактного оператора.

7. Критерий того, что комплексное число принадлежит спектру нормального оператора.

8. Теорема об отображении спектра.

9. Отображение пространства непрерывных функций на спектре самосопряжённого оператора в пространство L(H).

10. Теорема об изоморфизме самосопряженного оператора с циклическим вектором и оператора умножения на аргумент в пространстве функций на его спектре, квадратично-интегрируемых по некоторой мере.

11. Теорема об изоморфизме самосопряженного оператора прямой сумме операторов умножения на аргумент.

12. Теорема о том, что самосопряжённый оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфен оператору умножения на ограниченную вещественную функцию в пространстве L₂(R,ν).

13. Доказательство равенства ||A||²=||A*A||.

14. Спектральная теорема фон Неймана.

15. Спектральная теорема, основанная на использовании спектральной меры.

16. Критерий конечномерности топологического векторного пространства.

17. Единственность топологии конечномерного отделимого локально выпуклого пространства.

18. Критерий нормируемости топологического векторного пространства.

19. Пространства D, S, E. Плотность образов при вложениях .

20. Преобразование Фурье в пространстве S. Его непрерывность и формула обращения.

21. Вложение локально интегрируемых функций и локально конечных мер в пространство .

22. Общий вид обобщённой функции над пространством D.

23. Продолжение линейных операций с пространства S на пространство . Примеры: умножение на функцию, дифференцирование, преобразование Фурье.

24. Прямые и обратные образы обобщённых функций при отображениях пространств.

25. Преобразование Фурье в L₁(R) и L₂(R).

26. Эквивалентность трёх различных определений преобразования Фурье для функций из L₁(R)∩L₂(R).

27. Спектр преобразования Фурье в пространстве L₂(R).

28. Преобразование Фурье функций и .

29. Доказательство равенства в пространстве .

30. Связь между преобразованием Фурье и дифференцированием (в пространствах основных и обобщённых функций).

31. Преобразование Фурье обобщённых функций с компактным носителем.

32. Свертка в пространствах L₁(R) и S и её поведение по отношению к преобразованию Фурье и дифференцированию.

33. Свертка в пространстве и ее поведение по отношению к преобразованию Фурье и дифференцированию.

34. Доказательство того, что пространство D плотно в .

35. Фундаментальное решение задачи Коши и его применение.

36. Фундаментальное решение дифференциального уравнения и его применение.

[Mexmat.Net][http://www.mexmat.net/]