Семинар (5) (Семинары)

Семинар 4.

1. Распределение Пуассона.

Расчёт вероятностей в биноминальной схеме при больших затруднителен. Но в случае малой вероятности успеха, можно оценить вероятность какого-либо события следующим образом. Предположим, что и , тогда . Обозначим , распределение вероятностей приобретает вид: . Данная формула для вычисления вероятности называется распределением Пуассона. Причём, так как , то данное распределение вероятностей можно брать в качестве вероятностной меры при построении каких-либо вероятностных пространств. В распределении Пуассона используется параметр , который, как видно, равен некоторому среднему числу успехов в серии из испытаний, иными словами этот параметр равен ожидаемому числу успехов, где под понимается не вероятность, а частота успеха.

Пример 5.2:

Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3 опечаток.

Решение:

Можно ожидать, что на одной странице встретится 0.1 опечаток, причём количество букв на одной странице велико, таким образом можно воспользоваться распределением Пуассона с параметром . По другому, вероятность встретить опечатку при проверке одной буквы равна , где – число букв на странице. Проверяется букв, причём , то есть можно воспользоваться распределением Пуассона. Искомая вероятность будет равна:

Пример 5.4:

Сколько изюма в среднем должны содержать калорийные булочки для того, чтобы вероятность иметь в булочке хотя бы одну изюмину была не менее 0.99?

Решение:

Пусть в среднем булочки содержат изюмин. Тогда искомая вероятность будет , по условию она должна быть больше 0.99. Таким образом

Пример 5.7:

Предположим, что при наборе книги существует вероятность того, что любая буква может быть набрана неправильно. После набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью . После корректора – автор, обнаруживающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью . Найти вероятность того, что в книге со ста тысячами печатных знаков останется после этого не более 10 незамеченных опечаток.

Решение:

Для начала нам нужно найти вероятность успеха в одном испытании, в данном случае – это вероятность того, что останется опечатка.

Обозначим – буква набрана с опечаткой,

– корректор её исправил,

– опечатку исправил автор,

– опечатка осталась.

Тогда нам требуется найти .

Очевидно, что , отсюда

и

Искомая вероятность будет

2. Локальная и интегральная предельная теоремы Муавра-Лапласа.

Для биноминального распределения существуют с помощью формулы Стирлинга можно получить приближённую формулу:

Данная формула называется локальной предельной теоремой Муавра-Лапласа.

Но при большом числе испытаний, как правило бессмысленно говорить о событии, заключающемся в наступлении ровно успехов. События, для которых имеет смысл искать вероятность, – это интервалы. Иными словами, такие события заключаются в том, что число успехов лежит в некотором интервале. Для таких интервальных событий справедлива интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа: . Где называется интегралом ошибок.

Пример 6.1:

Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0.515. Какова вероятность того, что среди десяти тысяч новорождённых мальчиков будет не больше, чем девочек?

Решение:

Пример 6.2:

Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-ом году жизни равна 0.006. Застрахована группа в 10000 человек 20-летнего возраста, причём каждый застрахованный внёс 1.2 рубля страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного страховое учреждение выплачивает наследникам 100 рублей. Какова вероятность того, что:

а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;

б) его доход превысит 6000 рублей; 4000 рублей?

а)

б)

в)