Семинар (3) (Семинары)

Семинар 2.

1. Повторение алгебраических операций.

Предполагается, вы знаете, что на множестве событий, которые рассматриваются в теории вероятности, введены алгебраические операции, которые обладают некоторыми свойствами.

1.1 Операции и ассоциативны и коммутативны:

1.2 Операции и взаимно дистрибутивны:

1.3 Для операций и справедлив принцип двойственности:

,

Пример, упростить выражение

Решение:

Пример, даны вероятности событий Требуется найти вероятность события

Решение:

2. Элементы комбинаторики.

В классической вероятностной модели имеется элементарных исходов, каждый из которых не является более предпочтительным, чем другой, например подкидывание монеты, выбор карт и так далее. Тогда каждому элементарному исходу приписывается вероятность , а каждому событию .

Для подсчёта вероятности нужно таким образом уметь подсчитывать число элементарных исходов во всём пространстве и для каждого события. Как правило, при этом приходится сталкиваться с задачей на выбор предметов или на расстановку предметов. При этом возможно 4 варианта:

Дано изначально предметов, выбираем штук.

Например .

Пример.

Дано 52 карты, 13 номиналов, 4 масти, случайно выбираем 5 штук, найти вероятность следующих событий:

1. двойка: 2+1+1+1, то есть две карты одного номинала, а остальные других, отличных от номинала двойки.

Мы выбираем карты по очереди, две карты в наборе не могут повторятся, то есть выбор без возвращения, нам не важен порядок, в котором мы выбираем, важен только получившийся набор, то есть неупорядоченный выбор.

2. Две двойки: 2+2+1

3. Все карты одной масти:

4. Карэ – четыре карты одного номинала

Пример.

Шесть различных шаров произвольным образом раскладывают по трем ящикам, пронумерованным номерами 1,2,3. Требуется найти вероятность того, что в первом ящике не более двух шаров.

Решение.

Каждый шар можно положить в любой из ящиков, то есть . Рассмотрим событие, заключающиеся в том, что в первом ящике находится ровно шаров. При этом шаров мы можем выбрать способами, при этом для каждого такого набора оставшиеся шаров мы можем разложить по оставшимся 2 ящикам способами. Таким образом . А искомая вероятность будет:

3. Геометрическая вероятность.

В классической вероятностной модели рассматриваются задачи, в которых имеется конечное или счётное число равновероятных элементарных исходов. Естественным обобщением является геометрическая вероятность. Пусть пространство элементарных исходов представляет из себя некоторый выделенный объём. Например стрельба по мишени, пространство элементарных событий – плоскость и так далее. В таких случаях, событием будут всякие множества, у которых можно найти объём, а вероятностью можно считать отношение объёма, соответствующего событию к объёму всего пространства.

Здесь интегралы понимаются в смысле Лебега, то есть интеграл существует при более общих предположениях, относительно области интегрирования, чем в интеграле Римана. В случае, если известно, что какие-то точки пространства являются более предпочтительными, можно перейти к усложнённой модели геометрической вероятности.

Здесь функция определяет предпочтение одих точек другим.

Пример.

В единичный квадрат наугад бросают точку. Эту точку выбирают в качестве центра круга, целиком лежащего внутри квадрата и касающегося хотя бы одной из его сторон. Найти вероятность того, что площадь круга меньше .

Решение. Нужное нам событие – это точки внутри квадрата, чьё расстояние до ближайшей стороны меньше четверти.

Пример.

2.18 На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата бросается наудачу монета диаметром . Найти вероятность того,

а) монета попадёт целиком внутрь одного квадрата,

б) монета пересечёт не более одной стороны квадрата.

Решение. Параметром является центр круга.

а)

б)

2.19 Два лица независимо друг от друга имеют равную вероятность прийти в любой момент промежутка времени . Найти вероятность того, что время ожидания одним другого будет меньше

Решение.

2.22 На окружность единичного радиуса наудачу ставятся три точки . Какова вероятность того, что треугольник остроугольный?

Решение.