Программа курса

Программа курса «Методы оптимизации», 3 курс, 2000/2001.

1. Метрический вариант теоремы Вейерштрасса о сильной корректности задачи минимизации полунепрерывного снизу функционала на компактном множестве. Недостаточность условий ограниченности и замкнутости.

2. Вариант теоремы Вейерштрасса о слабой корректности задачи минимизации слабо полунепрерывного снизу функционала на слабо компактном множестве. Достаточные условия (без док-ва) слабой полунепрерывности снизу и слабой компактности. Слабая полунепрерывность снизу квадратичного функционала. Слабая компактность «параллелепипеда» в L2 (a,b).

3. Существование решения задачи минимизации терминального квадратичного функционала на решениях линейной динамической системы.

4. Существование решения задачи минимизации интегрального квадратичного функционала на решениях линейной динамической системы.

5. Элементы дифференциального исчисления в нормированных пространствах. Первая и вторая производные квадратичного функционала. Теорема о производной сложной функции (без док-ва). Формула конечных приращений.

6. Первая и вторая производные терминального квадратичного функционала на решении линейной ДС.

7. Первая и вторая производные интегрального квадратичного функционала на решении линейной ДС.

8. Выпуклые функции. Теорема о локальном минимуме. Критерии выпуклости для функций, имеющих первую и вторую производные.

9. Сильно выпуклые функции. Критерии сильной выпуклости для функций, имеющих первые и вторые производные. Условия сильной выпуклости квадратичного функционала.

10. Вариант теоремы Вейерштрасса о сильной корректности задачи минимизации сильно выпуклого слабо полунепрерывного снизу функционала на выпуклом замкнутом множестве.

11. Условие оптимальности для дифференциального функционала в форме вариационного неравенства. Применение к модельной задаче ОУ.

12. Проекция точки на множество. Существование и единственность проекции на выпуклое замкнутое множество в гильбертовом пространстве. Характеризация проекции вариационным неравенством. Свойство нестрогой оптимальности оператора проектирования. Проекционная форма критерия оптимальности.

13. Метод скорейшего спуска. Оценка скорости сходимости для сильно выпуклых функций.

14. Метод скорейшего спуска для квадратичных функционалов. Явные расчетные формулы для шага спуска. Непрерывный аналог метода скорейшего спуска. Оценка скорости сходимости для сильно выпуклых функций.

15. Метод проекции градиента. Оценка скорости сходимости метода проекции градиента с постоянным шагом для сильно выпуклый функций.

16. Метод условного градиента. Оценка скорости сходимости для сильно выпуклых функций.

17. Метод Ньютона. Оценка скорости сходимости для сильно выпуклых функций.

18. Метод сопряженных направлений в Rn для квадратичных сильно выпуклых функционалов; сходимость за конечное число шагов. О реализации метода в случае функционалов общего вида.

19. Метод покоординатного спуска в Rn. Сходимость для выпуклых дифференцируемых функций. Существенность условий дифференцируемости.

20. Каноническая задача линейного программирования; ее эквивалентность общей задаче линейного программирования. Критерий угловой точки для канонической задачи.

21. Симплекс-метод для канонической задачи линейного программирования.

22. Метод штрафных функций для задач минимизации с ограничениями вида:

Сходимость для слабо полунепрерывных снизу функционалов.

1. Правило множителей Лагранжа для выпуклых задач минимизации с ограничениями вида:

Теорема Куна-Таккера.

1. Достаточные условия регулярности Слейтера для выпуклых задач минимизации с ограничениями вида:

Седловая форма теоремы Куна-Таккера для регулярного случая. Пример нерегулярной задачи.

1. Правило множителей Лагранжа для гладких задач минимизации с ограничениями вида:

Доказательство для вырожденного случая. Достаточные условия регулярности.

1. Правило множителей Лагранжа для гладких задач минимизации с ограничениями вида:

Доказательство для невырожденного случая. Теорема Люстерника (без док-ва).

1. Двойственные экстремальные задачи. Теорема о свойствах решения двойственных задач. Примеры.

2. Простейшая нелинейная задача управления со свободным правым концом. Вывод формулы приращения функционала с оценкой остаточных членов в L1 (tо, T). Принцип максимума Понтрягина.

3. Простейшая нелинейная задача управления со свободным правым концом. Вывод формулы приращения функционала с оценкой остаточных членов в L1 (tо, T). Градиент функционала. Линеаризованный принцип максимума.

4. Пример слабо, но не сильно корректной задачи минимизации. Сильная сходимость метода регуляризации Тихонова в гильбертовом пространстве.