М.И. Дьяченко - Программа экзамена по функциональному анализу
Описание файла
Документ из архива "М.И. Дьяченко - Программа экзамена по функциональному анализу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "функциональный анализ" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "М.И. Дьяченко - Программа экзамена по функциональному анализу"
Текст из документа "М.И. Дьяченко - Программа экзамена по функциональному анализу"
Экзаменационная программа по курсу функционального анализа
Осенний семестр 2003 г.
Лектор: д.ф.-м.н., профессор М.И.Дьяченко
-
Абсолютно непрерывные функции и их свойства. Теорема Банаха-Зарецкого (без доказательства достаточности).
-
Теорема о дифференцировании интеграла Лебега по переменному верхнему пределу.
-
Восстановление абсолютно непрерывной функции по ее производной с помощью интеграла Лебега. Замена переменной и интегрирование по частям в интеграле Лебега.
-
Метрические пространства. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пространстве.
-
Банаховы пространства. Теорема о вложенных шарах в банаховом пространстве.
-
Принцип сжимающих отображений.
-
Теорема о пополнении метрического пространства.
-
Теорема Бэра.
-
Компактность множеств в метрических пространствах. Критерий Хаусдорфа. Определение сепарабельности.
-
Непрерывные функции на метрических компактах. Их свойства.
-
Теорема Асколи-Арцела.
-
Критерий предкомпактности единичного шара в банаховом пространстве. Эквивалентность норм в Rm.
-
Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского.
-
Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых пространствах. Теорема о разложении в прямую сумму.
-
Ортонормированные системы. Неравенство Бесселя.
-
Теорема Рисса-Фишера. Процесс ортогонализации.
-
Базисы. Равенство Парсеваля и эквивалентные ему условия. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.
-
Линейные операторы в нормированных пространствах. Непрерывность и ограниченность. Полнота пространства линейных непрерывных операторов.
-
Линейные непрерывные функционалы на гильбертовом пространстве.
-
Линейные непрерывные функционалы на пространствах Lp (прямая теорема).
-
Линейные непрерывные функционалы на пространствах Lp (обратная теорема).
-
Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на C([a,b]).
-
Пространство, сопряженное C([a,b]).
-
Лемма Цорна (б/д). Существование разрывных линейных функционалов на бесконечномерном линейном нормированном пространстве.
-
Теорема Хана-Банаха в действительном и комплексном случаях.
-
Следствия теоремы Хана-Банаха. Сепарабельность пространства, сопряженное которому сепарабельно.
-
Сопряженные операторы.
-
Теорема Банаха-Штейнгауза.
-
Существование непрерывной функции с рядом Фурье, расходящимся в точке.
-
Различные виды сходимости векторов, функционалов и операторов. Теорема о *-слабой компактности единичного шара в пространстве, сопряженном сепарабельному.
[Mexmat.Net][http://www.mexmat.net/]