М.И. Дьяченко - Программа экзамена по функциональному анализу

Экзаменационная программа по курсу функционального анализа

Осенний семестр 2003 г.

Лектор: д.ф.-м.н., профессор М.И.Дьяченко

1. Абсолютно непрерывные функции и их свойства. Теорема Банаха-Зарецкого (без доказательства достаточности).

2. Теорема о дифференцировании интеграла Лебега по переменному верхнему пределу.

3. Восстановление абсолютно непрерывной функции по ее производной с помощью интеграла Лебега. Замена переменной и интегрирование по частям в интеграле Лебега.

4. Метрические пространства. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пространстве.

5. Банаховы пространства. Теорема о вложенных шарах в банаховом пространстве.

6. Принцип сжимающих отображений.

7. Теорема о пополнении метрического пространства.

8. Теорема Бэра.

9. Компактность множеств в метрических пространствах. Критерий Хаусдорфа. Определение сепарабельности.

10. Непрерывные функции на метрических компактах. Их свойства.

11. Теорема Асколи-Арцела.

12. Критерий предкомпактности единичного шара в банаховом пространстве. Эквивалентность норм в R^m.

13. Евклидовы пространства. Неравенство Коши-Буняковского.

14. Теорема о существовании и единственности элемента наилучшего приближения в гильбертовых пространствах. Теорема о разложении в прямую сумму.

15. Ортонормированные системы. Неравенство Бесселя.

16. Теорема Рисса-Фишера. Процесс ортогонализации.

17. Базисы. Равенство Парсеваля и эквивалентные ему условия. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.

18. Линейные операторы в нормированных пространствах. Непрерывность и ограниченность. Полнота пространства линейных непрерывных операторов.

19. Линейные непрерывные функционалы на гильбертовом пространстве.

20. Линейные непрерывные функционалы на пространствах L_p (прямая теорема).

21. Линейные непрерывные функционалы на пространствах L_p (обратная теорема).

22. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на C([a,b]).

23. Пространство, сопряженное C([a,b]).

24. Лемма Цорна (б/д). Существование разрывных линейных функционалов на бесконечномерном линейном нормированном пространстве.

25. Теорема Хана-Банаха в действительном и комплексном случаях.

26. Следствия теоремы Хана-Банаха. Сепарабельность пространства, сопряженное которому сепарабельно.

27. Сопряженные операторы.

28. Теорема Банаха-Штейнгауза.

29. Существование непрерывной функции с рядом Фурье, расходящимся в точке.

30. Различные виды сходимости векторов, функционалов и операторов. Теорема о *-слабой компактности единичного шара в пространстве, сопряженном сепарабельному.

[Mexmat.Net][http://www.mexmat.net/]